▪ Γενέθλια

ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ποια είναι η πιθανότητα μεταξύ κ μαθητών ($κ ≤ 365$) δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; (Ο χρόνος υπολογίζεται με $365$ μέρες).
ΛΥΣΗ

Αν Α είναι το ενδεχόμενο "δύο τουλάχιστον μαθητές να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα", τότε $A'$ είναι το ενδεχόμενο "οι $κ$ μαθητές να έχουν γενέθλια σε διαφορετικές μέρες" και ισχύει $P(A) = 1 - P(A')$. Επομένως ο υπολογισμός της $P(A)$ ανάγεται στον υπολογισμό της $P(A')$. Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος είναι

$N(Ω) = 365·365·365···365 = 365κ$

αφού ένας μαθητής μπορεί να έχει γεννηθεί σε μια από τις $365$ μέρες του έτους. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για το $A'$ είναι

$365·(365 - 1)·(365 - 2)...[(365 - (κ - 1)]$

αφού οι $κ$ μαθητές πρέπει να έχουν γεννηθεί σε διαφορετικές μέρες του έτους. Επομένως,

Άρα

Οι τιμές του $P(A)$ για μερικές τιμές του $κ$ δίνονται στον επόμενο πίνακα:

Παρατηρούμε ότι ήδη μεταξύ $23$ ατόμων η πιθανότητα δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι μεγαλύτερη από $50%$, ενώ μεταξύ $70$ ατόμων το ενδεχόμενο αυτό είναι σχεδόν βέβαιο.