▪ Γενέθλια

ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ποια είναι η πιθανότητα μεταξύ κ μαθητών ($\kappa \le 365$) δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; (Ο χρόνος υπολογίζεται με $365$ μέρες).
ΛΥΣΗ

Αν Α είναι το ενδεχόμενο "δύο τουλάχιστον μαθητές να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα", τότε $A^{\prime }$ είναι το ενδεχόμενο "οι $\kappa$ μαθητές να έχουν γενέθλια σε διαφορετικές μέρες" και ισχύει $P(A)=1-P(A^{\prime })$. Επομένως ο υπολογισμός της $P(A)$ ανάγεται στον υπολογισμό της $P(A^{\prime })$. Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος είναι

$N(\Omega )=365·365·365···365=365\kappa$

αφού ένας μαθητής μπορεί να έχει γεννηθεί σε μια από τις $365$ μέρες του έτους. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για το $A^{\prime }$ είναι

$365·(365-1)·(365-2)...[(365-(\kappa -1)]$

αφού οι $\kappa$ μαθητές πρέπει να έχουν γεννηθεί σε διαφορετικές μέρες του έτους. Επομένως,

Άρα

Οι τιμές του $P(A)$ για μερικές τιμές του $\kappa$ δίνονται στον επόμενο πίνακα:

Παρατηρούμε ότι ήδη μεταξύ $23$ ατόμων η πιθανότητα δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι μεγαλύτερη από $50$, ενώ μεταξύ $70$ ατόμων το ενδεχόμενο αυτό είναι σχεδόν βέβαιο.