59) Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, τέτοια ώστε
$(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3$.
Αν $f(2)=5$, τότε να υπολογισθεί η τιμή $f(2013)$.
KöMaL Math contest 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
60) Έστω συνάρτηση $f$ ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών, τέτοια ώστε
$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+...+n^2f(n)=n^3f(n)$
για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $n$. Αν $f(1)=2013$, τότε να υπολογισθεί η τιμή $f(2013)$.
KöMaL Math contest 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
60)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια ν = 2 έχουμε
8f(2) = 4f(2) + f(1) <=>
4f(2) = f(1)
Θα αποδείξουμε ότι f(n) = n^2*f(1)
Αφού αποδείξαμε την βασική περίπτωση, έστω ότι ισχύει για ν = κ. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για ν = κ+1.
(n+1)^3*f(n+1) = (n+1)^2*( f(1)/(n+1)^2 ) + n^2*( f(1)/n^2 ) + ... + f(1)
(n+1)^3*f(n+1) = (n+1)^2*( f(1)/(n+1)^2 ) + f(1) + f(1) + ... + f(1)
(n+1)^2*f(n+1)*( n+1-1 ) = n*f(1)
f(n+1) = f(1)/(n+1)^2
Συνεπώς ισχύει για όλους τους φυσικούς.
Άρα f(2013) = 2013/2013^2 = 1/2013
ΔΔΛ Β'