Δίνεται κύκλος και Α, Β δύο διαφορετικά σημεία του. Έστω M το μέσο της χορδής ΑΒ. Φέρουμε τις χορδές $PQ$ και $SR$, που διέρχονται από το σημείο $M$
Αν $C$ και $D$ τα σημεία τομής της χορδής $AB$ με τις χορδές $PR$ και $QS$, να αποδειχθεί ότι το $Μ$ είναι μέσο της χορδής $CD$.
Από τα Χανιά, Κυριάκος Φραγκάκος
ΑπάντησηΔιαγραφήΠΡώτα θα φέρουμε τα τρία αποστήματα: OL στη CP, ΟΚ στην SQ και OM στην ΑΒ.
Παρατηρούμε ότι είναι όμοια τα τρίγωνα SQM και MRP. Έχουν τρεις γωνίες ίσες, την κατά κορυφήν και τις εγγεγραμμένες που βαίνουν σε ίσα τόξα. Άρα ισχύει ότι PR/RM=SQ/QM. Όμως για να ισχύει αυτό πρέπει να ισχύει και PR:2/RM = SQ:2/QM. Όπου μισό PR και μισό SQ είναι τα LR και KQ. Άρα είναι όμοια και τα τριγωνάκια LMR και KQM. Άρα είναι ίσες και οι γωνίες τους MLR και MKQ.
Έχουμε δύο εγγράψιμα τετράπλευρα: Τα KOMD και MOLC. (Έχουν απέναντι ορθές).
DKM=DOM και MOC=MLR.
Επειδή DKM=MLR άρα και DOM=MOC.
Άρα στο τρίγωνο OCD η ΟΜ είναι ύψος (κάθετη ως απόστημα της ΑΒ) και διχοτόμος. Άρα το OCD είναι ισοκελές κι έτσι η ΟΜ είναι και μεσοκάθετος, άρα MC=MD. Ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κυριάκος Φραγκάκος, Χανιά