▪Διαιρετότητα με το 7

"Όταν ανέβηκα στο πρώτο παλάτι ήμουν ευλαβής (ασσιά).Στο δεύτερο ήμουν αγνός (ταόρ). Στο τρίτο δίκαιος (γάσαρ). Στο τέταρτο, είχα ενωθεί με το Θεό (τανίμ). Στο πέμπτο φαινόμουν άγιος ενώπιον του Θεού. Στο έκτο είπα την κντουσά ενώπιόν Του, για να μη με βλάψουν οι φύλακες-άγγελοι. Στο έβδομο παλάτι στέκομαι όρθιος με όλες μου τις δυνάμεις και ενώ τρέμω σύγκορμος, αρθρώνω την ακόλουθη προσευχή: "Δόξα σ'Εσένα που μ' εξύψωσες, δόξα σ'Εσένα στην πιο ψηλή κατοικία της μεγαλοσύνης!"

Χουάν δε λα Κρουθ (Σόλεμ)

Το αποπάνω γράφημα (δεν θυμίζει λίγο Μίκυ-Μάους;) είναι πολύ χρήσιμο. Είναι μια κατασκευή-ιδέα του David Wilson και μια περιήγηση στους κόμβους και τις ακμές του μάς δίνει για οποιονδήποτε ακέραιο το  υπόλοιπο στην διαίρεσή του με το $7$.

Για να βρούμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το $7$, ξεκινάμε από τον κόμβο 0, για κάθε ψηφίο ${\rm N}$ του αριθμού προχωρούμε ${\rm N}$ μαύρα βέλη (για ${\rm N}=0$, δεν προχωράμε καθόλου),και απλά όταν καταλήγουμε σε κάποιον επόμενο κόμβο,πριν προχωρήσουμε στον επόμενο, ακολουθούμε ένα (1) άσπρο βέλος.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να δούμε την διαιρετότητα του 325 με το 7.

Ξεκινούμε από το 0, προχωρούμε αντί-ωρολογιακά $3$ μαύρα βέλη και πάμε στον κόμβο $3$.Μετά $1$ άσπρο βέλος και πάμε στον κόμβο $2$. Επόμενο ψηφίο το $2$. Άρα, $2$ μαύρα βέλη (κόμβος $4$) και $1$ άσπρο και φτάνουμε στον κόμβο 5. Και τέλος (για το ψηφίο 5), 5 μαύρα βέλη και φτάνουμε στον κόμβο $3$.

Στον τελευταίο κόμβο ΔΕΝ ακολουθούμε ένα άσπρο βέλος, όπως στους προηγούμενους.

Άρα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του $325$ με το $7$ είναι το $3$. Ωραίο,δεν είναι;

Μπορείτε να σκεφτείτε πού βασίζεται αυτή η ιδέα, και να βρείτε ίσως μια γενίκευση και για άλλους διαιρέτες;

Και δύο πρόσθετες ερωτήσεις :

1) Αντί να πολλαπλασιάσει κάποιος έναν αριθμό με το $7$, κατά λάθος τον διαίρεσε με $7$.

Ποιο είναι το ποσοστό σφάλματος στο αποτέλεσμα;

2) Αποδείξτε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί της μορφής: $3^{(2n+1)}+2^{(n+2)}$ διαιρούνται με το 7.