▪ 7η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Junior (Σμύρνη, 2003)

Πρόβληµα 1

Ένας $n$ θετικός ακέραιος. Ένας αριθµός $Α$ έχει $2n$ ψηφία, από τα οποία είναι το $4$ και ένας αριθµός $Β$ έχει $n$ καθένα από τα οποία είναι το $8$. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός $Α+2Β+4$ είναι τέλειο τετράγωνο. 

Πρόβληµα 2

Υποθέτουµε ότι υπάρχουν $n$ σηµεία ενός επιπέδου, ανά τρία µη συνευθειακά, µε την ακόλουθη ιδιότητα: αν τα ονοµάσουµε $Α_1, Α_2, . . . Α_n$, µε οποιαδήποτε σειρά, η τεθλασµένη γραµµή $Α_1 Α_2 . . . Α_n$ δεν τέµνει τον εαυτό της. Να βρείτε τη µεγαλύτερη δυνατή τιµή πουν µπορεί να πάρει αριθµός $n$. 

Πρόβληµα 3

Έστω $κ$ ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου $ABC$. Θεωρούµε τα τόξα $AB, BC, CA$ έτσι ώστε $C∉AB$, $A∉BC$ και $B∉CA$. Έστω $D, E$ και $F$ τα µέσα των τόξων $BC, CA$ και $AB$, αντίστοιχα. Έστω $G$ και $H$ τα σηµεία τοµής $DE$ µε τις $CB$ και $CA$, αντίστοιχα και $I, J$ τα σηµεία τοµής της $DF$ µε τις $BC$ και $BA$ αντίστοιχα. Συµβολίζουµε τα µέσα των $GH$ και $IJ$ µε $Μ$ και $Ν$, αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τις γωνιές του τριγώνου $DMN$ συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου $ΑΒΓ$

β) Αν $Ο$ είναι το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου του τρίγωνου $DMN$ και $Ρ$ είναι το σηµείο τοµής των $AD$ και $EF$ να αποδείξετε ότι τα σηµεία $Ο, Ρ, Μ$ και $Ν$ βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. 

Πρόβληµα 4

Αν οι $x, y, z$ είναι πραγµατικοί µεγαλύτεροι του $-1$, να αποδείξετε ότι:

$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq2$.