▪ 7η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Junior (Σμύρνη, 2003)

Πρόβληµα 1

Ένας $n$ θετικός ακέραιος. Ένας αριθµός ${\rm A}$ έχει $2n$ ψηφία, από τα οποία είναι το $4$ και ένας αριθµός ${\rm B}$ έχει $n$ καθένα από τα οποία είναι το $8$. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός ${\rm A}+2{\rm B}+4$ είναι τέλειο τετράγωνο. 

Πρόβληµα 2

Υποθέτουµε ότι υπάρχουν $n$ σηµεία ενός επιπέδου, ανά τρία µη συνευθειακά, µε την ακόλουθη ιδιότητα: αν τα ονοµάσουµε ${{\rm A}}_1,{{\rm A}}_2,...{{\rm A}}_n$, µε οποιαδήποτε σειρά, η τεθλασµένη γραµµή ${{\rm A}}_1{{\rm A}}_2...{{\rm A}}_n$ δεν τέµνει τον εαυτό της. Να βρείτε τη µεγαλύτερη δυνατή τιµή πουν µπορεί να πάρει αριθµός $n$. 

Πρόβληµα 3

Έστω $\kappa$ ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου $ABC$. Θεωρούµε τα τόξα $AB,BC,CA$ έτσι ώστε $C\notin AB$, $A\notin BC$ και $B\notin CA$. Έστω $D,E$ και $F$ τα µέσα των τόξων $BC,CA$ και $AB$, αντίστοιχα. Έστω $G$ και $H$ τα σηµεία τοµής $DE$ µε τις $CB$ και $CA$, αντίστοιχα και $I,J$ τα σηµεία τοµής της $DF$ µε τις $BC$ και $BA$ αντίστοιχα. Συµβολίζουµε τα µέσα των $GH$ και $IJ$ µε ${\rm M}$ και ${\rm N}$, αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τις γωνιές του τριγώνου $DMN$ συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$

β) Αν ${\rm O}$ είναι το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου του τρίγωνου $DMN$ και ${\rm P}$ είναι το σηµείο τοµής των $AD$ και $EF$ να αποδείξετε ότι τα σηµεία ${\rm O},{\rm P},{\rm M}$ και ${\rm N}$ βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. 

Πρόβληµα 4

Αν οι $x,y,z$ είναι πραγµατικοί µεγαλύτεροι του $-1$, να αποδείξετε ότι:

$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge 2$.