Έστω $P$ και $Q$ τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης δύο τεμνόμενων κύκλων $C_1$ και $C_2$, αντίστοιχα. Οι δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία $M$ και $N$, (το $N$ βρίσκεται πιο κοντά στην $PQ$, από ότι το σημείο $M$). Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα $MNP$ και $MNQ$ έχουν ίσα εμβαδά.
British Mathematical Olympiad 2000
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω $P$ και $Q$ τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης δύο τεμνόμενων κύκλων $C_1$ και $C_2$, αντίστοιχα. Οι δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία $M$ και $N$, (το $N$ βρίσκεται πιο κοντά στην $PQ$, από ότι το σημείο $M$). Αν η ευθεία $PN$ τέμνει ξανά τον κύκλο $C_2$ στο σημείο $R$, να αποδειχθεί ότι η $MQ$ διχοτομεί την γωνία $\angle{PMR}$.
British Mathematical Olympiad 2000
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
ΠΡΟΒΛΗΜΑ1
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ προέκταση της ΜΝ τέμνει την PQ, έστω στο Κ.
Ισχύει PK=KQ (αλλά και αποδεικνύεται εύκολα με χρήση ομοίων ορθ. τριγώνων)
(MNP)=(MKP)-(NKP)
(MNQ)=(MKQ)-(NKQ)
Επειδή (MKP)=(MKQ), ίσες βάσεις (PK=KQ) και κοινό ύψος και (NKP)=(NKQ) ομοίως ίσες βάσεις και κοινό ύψος, συνεπάγεται και (MNP)= (MNQ)