▪ Γεωμετρία - Ασκήσεις 592η - 593η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με $AC=BC$. Έστω ${\rm P}$ σημείο του τόξου ${\rm A}{\rm B}$ που δεν περιέχει το $C$. Αν είναι $CD\perp PB$ , $D\in PB$, να αποδείξετε ότι: 

                         ${\rm P}{\rm A}+{\rm P}{\rm B}=2PD$. 

6η Μαθηματική Βαλκανιάδα Νέων 2002

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δύο κύκλοι $C_1,C_2$ με άνισες ακτίνες τέμνονται στα σημεία Α, Β και τα κέντρα τους ${{\rm O}}_1,{{\rm O}}_2$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας ${\rm A}{\rm B}$. Έστω ${\rm B}1,{\rm B}2$ τα αντιδιαμετρικά σημεία του ${\rm B}$ στους κύκλους $C_1,C_2$ αντιστοίχως. Θεωρούμε το σημείο ${{\rm M}}_1$ του κύκλου $C_1$ και το σημείο ${{\rm M}}_2$ του κύκλου $C_2$ έτσι ώστε: 

$\mathrm{\angle }A{O}_1{M}_1=\mathrm{\angle }A{O}_2{M}_2<{180}^0$ . 

Αν το ${{\rm B}}_1$ είναι σημείο του κύκλου $C_1$ εσωτερικό της γωνίας $\mathrm{\angle }A{O}_1{M}_1$  το ${{\rm B}}_2$ είναι σημείο του $C_2$ εσωτερικό της γωνίας $\mathrm{\angle }A{O}_2{M}_2$ και το ${\rm M}$ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ${{\rm B}}_1{{\rm B}}_2$, να αποδείξετε ότι:

$\mathrm{\angle }{\rm M}{{\rm M}}_1{\rm B}=\mathrm{\angle }{\rm M}{{\rm M}}_2{\rm B}$.

6η Μαθηματική Βαλκανιάδα Νέων 2002

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com