Τρίτη 4 Ιουνίου 2013

▪ Ανισότητες - 287η

Έστω $x, y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$x\leq2$, $y\leq3$ και $x + y + z = 11$.
Nα αποδειχθεί ότι
$xyz\leq{36}$.
Mircea Lascu (Romania)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 4.6.13
Ετικέτες , ,

4 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Ιουνίου 2013 στις 3:14 μ.μ.

    Εστω xmax=2, ymax=3 =>zmin=6
    xmax*ymax*zmin=2*3*6=36
    Έστω τυχαία χi=2-a, yi=3-b =>zi=11-2+a-3+b=6+a+b, 0z=11-3,5=7,5
    =>(2-1,5)+(7,5-2)+(7,5-1,5)=0,5+5,5+6=13>8

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Ιουνίου 2013 στις 4:42 μ.μ.

    Μερικές φορές υπάρχει "μαύρη τρύπα"
    Εστω xmax=2, ymax=3 =>zmin=6
    x0*y0*z0=36
    Έστω τυχαία χi=2-a, yi=3-b =>zi=11-2+a-3+b=6+a+b, 0(3-2)+(6-2)+(6-3)=1+4+3=8
    ενώ πχ για x=1,5 y=2 => z=11-3,5=7,5 =>(2-1,5)+(7,5-2)+(7,5-1,5)=0,5+5,5+6=13>8

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Ιουνίου 2013 στις 5:09 μ.μ.

    Επιμένει!
    Εστω xmax=2, ymax=3 =>zmin=6 =>χ*y*z=36
    Έστω τυχαία χi=2-a, yi=3-b =>zi=11-2+a-3+b=6+a+b, 0<a<2, 0<b<3
    xi*yi*zi=( 2-a)*(3-b)*(6+a+b)=(6-2b-3a+ab)*(6+a+b)=
    =36+6a+6b -12b-2ab-2b^2 -18a-3a^2-3ab +6ab+a^2b+ab^2=
    36-12a-6b+ab-2b^2-3a^2+a^2b+ab^2=
    36-12a-6b+ab-(2-a)b^2-(3-b)a^2 <36
    Συνεπώς xyz<=36

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Ιουνίου 2013 στις 7:39 μ.μ.

    Αναμενόμενο, από την γεωμετρία ξέρουμε ότι στα
    ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με σταθερό άθροισμα περιμέτρου
    (ή των 3 ακμών του), ο όγκος γίνεται μέγιστος στον κύβο, αλλά επειδή εδώ έχουμε διαφορετικά χ,y,z o ο όγκος γίνεται μέγιστος όταν το άθροισμα των διαφορών των ακμών ανά δύο ακμές γίνεται ελάχιστο, και ελάχιστο γίνεται για x=2 y=3 z=6 =>(3-2)+(6-2)+(6-3)=1+4+3=8
    ενώ πχ για x=1,5 y=2 => z=11-3,5=7,5 =>(2-1,5)+(7,5-2)+(7,5-1,5)=0,5+5,5+6=13>8

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)