▪ 20η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Τίρανα, 2003)

Πρόβληµα 1

Υπάρχει σύνολο $Β$ µε στοιχεία $4004$ διαφορετικούς θετικούς ακεραίους τέτοιο ώστε για κάθε υποσύνολο $Α$ του $Β$ µε $2003$ στοιχεία, το άθροισµα των στοιχείων του $Α$ να µην διαιρείται από τον αριθµό $2003$; 

Πρόβληµα 2

Έστω $ABC$ τρίγωνο µε $(AB)≠ (AC)$ και έστω $D$ το σηµείο που η εφαπτοµένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ στο $Α$ τέµνει την ευθεία $BC$. Εάν $Ε,F$ τα σηµεία των µεσοκαθέτων των τµηµάτων $ΑΒ, AC$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $BE$ και $CF$ να είναι κάθετες στο $ΒC$,να αποδείξετε ότι τα σηµεία $D,E,F$ είναι συνευθειακά. 

Πρόβληµα 3

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f :Q → R$ για τις οποίες ισχύει: 

(i) $f(x+y) -yf(x) − xf (y) = f(x)f(y )− x− y+ xy $ , για κάθε $x, y∈Q$. 

(ii) $f(x) = 2f(x+1)+2+ x$ , για κάθε $x∈Q$. 

(iii) $f(1)+1>0$.

Πρόβληµα 4

Έστω $m,n$ σχετικά πρώτοι περιττοί ακέραιοι αριθµοί .Ένα ορθογώνιο $ABCD$ µε $(ΑΒ)=m$ και $(ΑD)=n$ διαµερίζεται σε $m\cdot{n}$ µοναδιαία τετράγωνα. Ορίζουµε µε $A_1, A_2,A_3,...,A_k$ τα διαδοχικά σηµεία τοµής της διαγωνίου ΑC µε τις πλευρές των µοναδιαίων τετραγώνων ($A_1≡ A$, $A_k≡C$). 

Να αποδείξετε ότι: 

$\sum_{j=1}^{k-1}(-1)^{j+1}(A_{j}A_{j+1})=\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m\cdot{n}}$.