▪ 20η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Τίρανα, 2003)

Πρόβληµα 1

Υπάρχει σύνολο ${\rm B}$ µε στοιχεία $4004$ διαφορετικούς θετικούς ακεραίους τέτοιο ώστε για κάθε υποσύνολο ${\rm A}$ του ${\rm B}$ µε $2003$ στοιχεία, το άθροισµα των στοιχείων του ${\rm A}$ να µην διαιρείται από τον αριθµό $2003$; 

Πρόβληµα 2

Έστω $ABC$ τρίγωνο µε $(AB)\ne (AC)$ και έστω $D$ το σηµείο που η εφαπτοµένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ στο ${\rm A}$ τέµνει την ευθεία $BC$. Εάν ${\rm E},F$ τα σηµεία των µεσοκαθέτων των τµηµάτων ${\rm A}{\rm B},AC$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $BE$ και $CF$ να είναι κάθετες στο ${\rm B}C$,να αποδείξετε ότι τα σηµεία $D,E,F$ είναι συνευθειακά. 

Πρόβληµα 3

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:Q\to R$ για τις οποίες ισχύει: 

(i) $f(x+y)-yf(x)-xf(y)=f(x)f(y)-x-y+xy$ , για κάθε $x,y\in Q$. 

(ii) $f(x)=2f(x+1)+2+x$ , για κάθε $x\in Q$. 

(iii) $f(1)+1>0$.

Πρόβληµα 4

Έστω $m,n$ σχετικά πρώτοι περιττοί ακέραιοι αριθµοί .Ένα ορθογώνιο $ABCD$ µε $({\rm A}{\rm B})=m$ και $({\rm A}D)=n$ διαµερίζεται σε $m\cdot n$ µοναδιαία τετράγωνα. Ορίζουµε µε $A_1,A_2,A_3,...,A_k$ τα διαδοχικά σηµεία τοµής της διαγωνίου ΑC µε τις πλευρές των µοναδιαίων τετραγώνων ($A_1\equiv A$, $A_k\equiv C$). 

Να αποδείξετε ότι: 

$\sum _{j=1}^{k-1}(-1{)}^{j+1}(A_j{A}_{j+1})=\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m\cdot n}$.