Για όλους τους τριψήφιους αριθμούς $n=ABC$ ορίζουμε
$S(n) = A + B+ C + A\cdot{B}+ A\cdot{C}+ B\cdot{C}+ A\cdot{B}\cdot{C}$.
Nα βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι αριθμοί $ν$ για τους οποίους ισχύει
$S(n) =n$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
n=ABC(τριψήφιος)άρα n=100A+10B+10C
ΑπάντησηΔιαγραφήTo ζητούμενο επομένως αντιστοιχεί στο να λυθεί η διοφαντική:
ABC+A+B+C+AB+AC+BC=100A+10B+10C (1) όπου:
Α,Β,C ψηφία 0<Α<=9 ,0<=Β<=9 και 0<C<=9
H (1) γίνεται:
A*(BC+B+C-99)+B*(C-9)=0
To A είναι θετικό (1 έως 9) άρα για να μηδνίζει η παράσταση πρέπει υποχρεωτικά να μηδενίζουν οι ποσότητες εντός παρενθέσεων.
Άρα c=9 και 9B+B-90=0...B=9
To A μπορεί να έχει όλες τις τιμές (1,2,3...,9)
ΛΥΣΕΙΣ:
n= 199 ή 299,...ή 999
Tυπογραφικό στην 1η,3η σειρά: ν=100Α+10Β+C
ΔιαγραφήΤα υπόλοιπα ώς έχουν.