Έχουμε ένα ασυνήθιστο ζευγάρι ζάρια. Το ένα από αυτά έχει στις έδρες του σημειωμένους τους αριθμούς $1,3,4,5,6,8$ και το άλλο τους αριθμούς $1,2,2,3,3,4$.
Να αποδειχθεί ότι, το άθροισμα των τιμών αυτού του ζεύγους των ζαριών έχει την ίδια κατανομή πιθανότητας με το άθροισμα των τιμών ενός κανονικού ζεύγους ζαριών.
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΖΑΡΙΑ
ΑπάντησηΔιαγραφήΆθροισμα Παρατηρήσιμα Πιθανότητα Συνάρτηση
2 ζαριών Γεγονότα P(x) κατανομής
2 Ξ2={(1,1)} 1/36 1/36
3 Ξ3={(1,2),(2,1)} 2/36 3/36
4 Ξ4 ={(2,2),(1,3),(3,1)} 3/36 6/36
5 Ξ5={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}4/36 10/36
6 Ξ6={(1,5),(2,4),(3,3),
(4,2), (5,1)} 5/36 15/36
7 Ξ7={(1,6),(2,5),(3,4),
4,3),(5,2),(6,1)} 6/36 21/36
8 Ξ8={(2,6),(3,5),(4,4),
(5,3),(6,2)} 5/36 26/36
9 Ξ9={(3,6),(4,5),(5,4),
(6,3)} 4/36 30/36
10 Ξ10={(4,6),(5,5),(6,4)} 3/36 33/36
11 Ξ11={(5,6),(6,5)} 2/36 35/36
12 Ξ12={(6,6)} 1/36 36/36
ΑΣΥΝΗΘΙΣΤΑ ΖΑΡΙΑ
1 3 4 5 6 8
1 2 4 5 6 7 9
2 3 5 6 7 8 10
2 3 5 6 7 8 10
3 4 6 7 8 9 11
3 4 6 7 8 9 11
4 5 7 8 9 10 12
2 Ξ2=(1,1) 1/36 1/36
3 Ξ3={(1,2),(1,2)} 2/36 3/36
4 Ξ4={(1,3),(1,3),(3,1) 3/36 6/36
5 Ξ5={(1,4),(3,2),(3,2),(4,1)} 4/36 10/36
6 Ξ6={(3,3),(3,3),(4,2),(4,2),
(5,1)} 5/36 15/36
7 Ξ7={(3,4),(4,3),(4,3),(5,2),
(5,2),(6,1)} 6/36 21/36
8 Ξ8={(4,4),(5,3),(5,3),(6,2)
(6,2)} 5/36 26/36
9 Ξ9={(5,4),(6,3),(6,3),(8,1)} 4/36 30/36
10 Ξ10={(6,4),(8,2),(8,2)} 3/36 33/36
11 Ξ11={(8,3),(8,3)} 2/36 35/36
12 Ξ12={(8,4)} 1/36 36/36
Παρατηρούμε ότι οι κατανομές των αθροισμάτων είναι ίδιες
Αφού και τα 2 ζάρια είναι εξάεδρα κάθε ενδεχόμενο(όπως στο συνηθισμένο ζάρι) έχει πιθανότητα 1/36 να έρθει
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο αριστερό ζάρι έχουν προστεθεί 6 παραπάνω μονάδες στο άθροισμα όλων των πλευρών ενώ στο δεξί έχουν αφαιρεθεί 6
Άρα η κατανομή πιθανότητας είναι η ίδια αφού αν δούμε τα ενδεχόμενα σαν αθροίσματα έχουμε στον παρονομαστή
2*(1+2+3+4+5+6)=42(όπως το κανονικό αφού το +6 με το -6 αλληλοαναιρούνται)
Ωραίο θέμα Σωκράτη, και προκαλεί χρήσιμες γενικεύσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε ένα ν-ζαρο (ζάρι με ν πλευρές: 1, 2,…,ν) έστω p1, p2,…pν οι αντίστοιχες πιθανότητες να έρθει σε μία ρίψη 1 ή 2 ή…ν.
Αν ρίξουμε 2 φορές το ζάρι ,η πιθανότητα να φέρουμε αθροιστικά ένα άθροισμα έστω κ είναι: Σ(από μ=1 έως ν)p(μ)*p(k-μ) = Σ(από μ=κ-1 έως ν-κ)p(μ)*p(κ-μ) (1)
Ας πάρουμε τώρα το πολυώνυμο:
P= p1*x +p2*x^2+p3*x^3+…+pν*x^ν
Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
P^2= α2*χ^2+α3*x^3+…+α2ν*x^2n
Όπου: α(μ), για μ=2,3,4,…,2ν ισούται με:
Σ(από μ=κ-1 έως ν-κ)p(μ)*p(κ-μ) , που είναι η (1) πιο πάνω !
Μ’άλλα λόγια, η πιθανότητα να ρίξουμε άθροισμα =μ είναι ίση με τον συντελεστή του x^μ στο αντίστοιχο πολυώνυμο που προκύπτει τετραγωνίζοντας!
Για παράδειγμα: Σε ένα κανονικό-στάνταρ ζάρι 6 πλευρών έχουμε:
P= (1/6)x +(1/6)x^2 +(1/6)x^3+(1/6)x^4+(1/6)x^5 +(1/6)x^6
Και άρα: P^2=(x^2)/36 +(2x^3)/36 +(3x^4)/36 + (4x^5)/36 +(5x^6)/36 +(6x^7)/36 +(5x^8)/36
+(4x^9)/36 + (3x^10)/36 + (2x^11)/36 + (x^12)/36
Aυτό ισούται με:
X^2/36 +(x^3)/18 + (x^4)/12 + (x^5)/9 + (5x^6)/36 + (x^7)/6 +(5x^8)/36 + x^9/9 +(x^10)/12+
(x^11)/18 + (x^12)/36 (2)
H (2) μας λέει δηλαδή ότι ας πούμε η πιθανότητα να ρίξουμε άθροισμα 7 είναι 1 στις 6 , ή πιθανότητα για άθροισμα 9 είναι 1/9 , για 8 είναι 5 στις 36 κ.λ.π
Αυτό ισχύει γενικά ακόμη και για διαφορετικά ζάρια , με διαφορετικό αριθμό πλευρών το καθένα. Γενικά ένα ν-ζαρο αντιπροσωπεύεται από το πολυώνυμο:
P= (1/ν)* (x + x^2 +x^3+…+x^ν)
Με βάση τους παραπάνω μετασχηματισμούς , προβληματισμοί σχετικοι με αθροίσματα ζαριων και τις σχετικές πιθανότητες , ανάγονται σε πολυωνιμικους μετασχηματισμούς!
Το ζητούμενο του προβλήματος λοιπόν(αν τα συγκεκριμένα ζάρια δίνουν την ίδια κατανομη πιθανοτήτων με ένα ζευγάρι στανταρ ζάρια) ανάγεται στο ερώτημα:
Υπάρχει τρόπος (και ποιος;) το πολυώνυμο (x+x^2+x^3+…+x^ν)^2 να παραγοντοποιηθεί ως άνω;
Αυτό είναι μια γενικότητα με πολλές εφαρμογές (εκτός από τα ζάρια) σε προβλήματα διακριτών μεταβλητών και αυτά τα πολυωνυμα (σαν το αμεσως αποπάνω) λέγονται «γεννήτριες συναρτήσεις» (η ελληνική ορολογία ελπίζω να είναι δόκιμη, στα αγγλικά «generating functions»)
Στο προκείμενο λοιπόν έχουμε:
To πολυώνυμο μας που αντιστοιχεί στο στάνταρ ζάρι είναι:
Π=(x+x^2+x^3+x^4+x^5 +x^6)^2
Αυτό παραγοντοποιείται σαν:
X^2*(1+x)^2 * (1+x+x^2)^2 *(1-x+x^2)^2 =
= {x(1+x)(1+x+x^2)}*{x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2} =
=(x+2x^2 + 2x^3 +x^4)*(x+x^3 +x^4 +x^5 +x^6 +x^8) (A)
H (A) λοιπόν μας δίνει 2 ζάρια
Το (1,2,2,3,3,4) που αντιστοιχεί στην 1η παρένθεση-πολυώνυμο της (Α), και
Το (1,3,4,5,6,8) που αντιστοιχεί στην 2η παρένθεση-πολυώνυμο.
Άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε, και μάλιστα όχι μόνο η ικανή συνθήκη αλλά και η αναγκαία.
Δηλαδή μόνο τα 2 συγκεκριμένα ζάρια (από τα 6 πλευρα) δίνουν την ίδια κατανομή με δύο κανονικά ζάρια, μιας και η παραγοντοποίηση που κάναμε είναι μοναδική.
ΥΓ. επιτέλους ασχοληθήκαμε με λίγα αληθινά Μαθηματικά! :-) Kάτι με "ζάρια" πρέπει να παίζει και η περίφημη "επιτροπή", αλλά ... :-)
Φίλε Ντονάλτιε καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρόσεξε ότι δεν αρκεί το άθροισμα! Το ζάρι ας πούμε 1,2,2,4,4,6 παρότι ακολουθεί τη "νόρμα" που λες, δεν μας κάνει. (δεν δίνει μαζί με το άλλο ίδια πιθανοτική κατανομή αθροισμάτων). Το καταλαβαίνεις αυτό, πέραν απο την κάπως τεχνητή και "δύστροπη" ομολογώ αλγεβρική εξήγηση, και διαισθητικά από το ότι αλλάζουν οι συχνότητες εμφάνισης ίδιων αριθμών (αφού ας πούμε έχουμε 2 δυάρια, 2 τριάρια ,κλπ.)
Για λόγους συμμετρίας το ξαναστέλνω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι τελείες παίζουν το ρόλο αντίστασης στην έλξη και την μετακίνηση των γραμμάτων στην μεταφορά.
Άθ/μα..Παρατηρήσιμα.................Πιθ/τα..Συνάρτηση
2ζαρ.. Γεγονότα......................P(x)...κατανομής
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΖΑΡΙΑ.
2.... Ξ2={(1,1)}......................1/36.......1/36
3.... Ξ3={(1,2),(2,1)}.................2/36......3/36
4.... Ξ4={(2,2),(1,3),(3,1)}...... ......3/36....6/36
5.... Ξ5={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.......4/36...10/36
6.... Ξ6={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.5/36...15/36
7.... Ξ7={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),
..............................(6,1)}.....6/36...21/36
8.... Ξ8={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}.5/36...26/36
9.... Ξ9={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}.......4/36...30/36
10... Ξ10={(4,6),(5,5),(6,4)}............3/36...33/36
11... Ξ11={(5,6),(6,5)}..................2/36...35/36
12... Ξ12={(6,6)}........................1/36...36/36
ΑΣΥΝΗΘΙΣΤΑ ΖΑΡΙΑ
..1 3 4 5 6 8
1 2 4 5 6 7 9
2 3 5 6 7 8 10
2 3 5 6 7 8 10
3 4 6 7 8 9 11
3 4 6 7 8 9 11
4 5 7 8 9 10 12
2... Ξ2=(1,1)..........................1/36......1/36
3... Ξ3={(1,2),(1,2)}..................2/36......3/36
4... Ξ4={(1,3),(1,3),(3,1).............3/36......6/36
5... Ξ5={(1,4),(3,2),(3,2),(4,1)}..... 4/36 ....10/36
6... Ξ6={(3,3),(3,3),(4,2),(4,2),(5,1)}.5/36....15/36
7... Ξ7={(3,4),(4,3),(4,3),(5,2),5,2),
................................(6,1)} 6/36.....21/36
8... Ξ8={(4,4),(5,3),(5,3),(6,2)6,2)}. 5/36.....26/36
9... Ξ9={(5,4),(6,3),(6,3),(8,1)}..... 4/36.....30/36
10.. Ξ10={(6,4),(8,2),(8,2)}.......... 3/36.....33/36
11.. Ξ11={(8,3),(8,3)}................ 2/36.....35/36
12.. Ξ12={(8,4)}...................... 1/36.....36/36
Παρατηρούμε ότι οι κατανομές πιθανότητας των αθροισμάτων είναι ίδιες.