▪ Μια εισαγωγή στην αριθμησιμότητα

 Του Δημήτρη Χριστοφίδη 

Πως μπορούμε να συγκρίνουμε δυο σύνολα ως προς το «μέγεθος» τους; Για τα πεπερασμένα σύνολα αυτό είναι εύκολο. Απλά μετράμε τον αριθμό των στοιχείων τους. Για παράδειγμα το σύνολο ${\rm A}=\{1,2,3,4\}$ έχει περισσότερα στοιχειά από το σύνολο ${\rm B}=\{1,5,6\}$. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το ${\rm A}$ έχει μεγαλύτερο «μέγεθος» από το ${\rm B}$. Οι δυσκολίες αρχίζουν όταν θέλουμε να συγκρίνουμε άπειρα σύνολα. Για παράδειγμα, πως θα συγκρίνουμε το σύνολο ${\rm N}=\{1,2,3,....\}$  των φυσικών αριθμών, με το σύνολο $S=\{1,4,9,....\}$  των τέλειων τετραγώνων;

Μια απάντηση θα μπορούσε να είναι ότι έχουν και τα δύο το ίδιο μέγεθος. Παρόλο που αυτή η απάντηση δεν είναι λανθασμένη, η θεωρία του «μεγέθους» στην οποία οδηγεί δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον.

Μια άλλη απάντηση θα μπορούσε να είναι ότι το ${\rm N}$ είναι μεγαλύτερο του $S$ εφ’ όσων το $S$ είναι γνήσιο υποσύνολο του ${\rm N}$. Παρόλο που και αυτή η απάντηση δεν είναι λανθασμένη, ουσιαστικά δεν έχουμε κάνει τίποτα καινούργιο. Απλά αντί να πούμε ότι το $S$ είναι γνήσιο υποσύνολο του ${\rm N}$, είπαμε ότι το ${\rm N}$ «έχει μεγαλύτερο μέγεθος» από το $S$. Αυτή η απάντηση παρουσιάζει και το εξής πρόβλημα: Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε όλα τα σύνολα μεταξύ τους. Για παράδειγμα δεν μπορούμε καν να συγκρίνουμε τα σύνολα ${\rm A}$ και ${\rm B}$ που ορίσαμε πιο πάνω. Παρόλο λοιπόν που η έννοια του υποσυνόλου είναι αρκετά σημαντική στα μαθηματικά, σίγουρα δεν γενικεύει την έννοια του μεγέθους.

Μπορούμε λοιπόν να δώσουμε κάποια άλλη απάντηση στο αρχικό ερώτημα; Η απάντηση είναι ναι και αυτό έχει γίνει από τον Georg Cantor στα τέλη του 19ου αιώνα.

Για περισσότερα κάντε κλικ εδώ.