Καρλ Φρίντριχ Γκάους
Στο πάτωμα ενός δωματίου ,που έχει εμβαδόν ίσο με $5$, τοποθετούνται $9$ κουρέλια, το καθένα εμβαδού ίσου με $1$ και τυχαίου σχήματος. Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν δύο κουρέλια που αλληλοεπικαλύπτονται κατά τουλάχιστον $\frac{1}{9}$ .
Καλησπέρα κ. Ριζόπουλε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχήν όσον αφορά το hint "Τα Κουρέλια που γουργουρίζουν" το μόνο που μου έρχεται κατά νου είναι η γάτες δηλ. cats στα αγγλικά που διαβάζεται όπως το cuts(τομές).Άρα πρέπει να δούμε τι γίνεται με τις τομές των κουρελιών(φαντάζομαι κάπως έτσι μας οδηγεί ο τίτλος )
Το σκεπτικό μου πάει ως εξής
Τα 9 κουρέλια μαζί έχουνε εμβαδόν 9.Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν των τομών πρέπει να είναι ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 4 έτσι ώστε να απομένει συνολικό εμβαδό 5(αν είναι παραπάνω από 4 έχει να κάνει με το σχήμα των κουρελιών το οποίο δεν γνωρίζουμε)
Έστω κ τομές και εμβαδό κάθε τομής Ν1,Ν2...ΝΚ
Άρα Ν1+Ν2+Ν3+...+ΝΚ=4(συνολικά)
Εμείς θα θεωρήσουμε την οριακή περίπτωση που το εμβαδόν των τομών είναι αθροιστικά 4(το μικρότερο δυνατό) και το πλήθος τους το μεγαλύτερο δυνατό(έτσι ώστε να έχουμε την μικρότερη δυνατή αλληλοεπικάλυψη 2 κουρελιών)
Έστω ότι ισχύει το ανάποδο δηλ
πρέπει κάθε εμβαδόν τομής Ν1<1/9 ,Ν2<1/9 κ.ο.κ.
Άρα 4=Ν1+Ν2+Ν3+...+ΝΚ=1/9
Μου κόπηκε το σχόλιο
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνέχεια:
πρέπει κάθε τομή Ν1<1/9 ,Ν2<1/9 κ.ο.κ.
Άρα 4=Ν1+Ν2+Ν3+...+ΝΚ=1/9
Ντονάλτιε, πολύ μακριά το πήγες το γουργούρισμα.:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήJust the pigeons baby! Just the pigeonhole principal του Ντίριχλετ. Μπορεί στα Οικονομικά να το μαθαίνετε σαν box principle (?)Κάπως έτσι είναι και στο γερμανικό πρωτότυπο ( Schubfachprinzip =αρχή του συρταριού)και ουσιαστικά (αν και πολύ χρήσιμη και δυνατή Αρχή) δεν είναι παρά το "στα 3 παιδιά, τα 2 είναι του ίδιου φύλου!" ή από 13 ανθρώπους οι 2 τουλάχιστον έχουν τον ίδιο μήνα γενέθλια. :-)
Έτσι και με τα κουρέλια. Σωστά έπιασες και πάλι το νόημα ,αλλά υστέρησες λίγο στον μαθηματικό φορμαλισμό ,οπότε αργυρό μετάλλιο μόνο! (εντάξει, πλάκα κάνω. Χρυσό!) :-)
Λίγη έξτρα "αυστηρότητα":
Έστω οτι κάθε ζευγάρι κουρελιών αλληλοεπικαλύπτεται κατά λιγότερο από 1/9.
Ας τα βάλουμε ένα-ένα στο πάτωμα!Ας υπολογίσουμε πόσο ακόμη ακάλυπτο εμβαδο θα καλύπτει κάθε διαδοχικό κουρέλι.
Το 1ο καλύπτει 1 (ή 9/9). Το 2ο, 3ο,...,9ο κουρέλι θα καλύψουν εμβαδό μεγαλύτερο από: 8/9, 7/9,...,1/9
Mιας όμως και 9/9 +8/9 +7/9+...+1/9=5 , τα 9 κουρέλια θα καλύψουν περιοχή μεγαλύτερη από 5. Άτοπον!
Eγραφα και άλλα ,όμως για κάποιο λόγο μου ξανακόπηκε το μήνυμα.Μπορεί να κοιτάξει και ο κ. Ρωμανίδης τι έγινε?ΤΟ στειλα 2 φορές και μου κόπηκε στο ίδιο σημείο
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση μου(για 3η και τελευταία φορά.Ουφ!)
Συνέχεια απο κει που την άφησα:
4=Ν1+Ν2+Ν3+...+ΝΚ=1/9(όπου Ν εμβαδό τομής όπως είπαμε)
Υ.Γ. Μου πέρασε από το μυαλό το πρόβλημα των γενεθλίων αλλά δεν θυμόνουν το όνομα του θεωρήματος του περιστερώνα :-)
Καλημέρα donaltie, δεν μπορώ να καταλάβω και εγώ, γιατί συμβαίνει αυτό...
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνέβη και 3η φορά!!Προφανώς δεν τα πάει καλά με τα συγκεκριμένα σύμβολα που χρησιμοποίησα.Ας είναι δεν πειράζει...
ΑπάντησηΔιαγραφή