Επί ενός κύκλου διαμέτρου $20$ παίρνουμε τα σημεία $A,B,C,D,E,F$ σε ίσα διαστήματα. Ένας δεύτερος κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου και των χορδών $AB$ και $AF$.
Αν το μήκος της διαμέτρου του δεύτερου κύκλου είναι της μορφής $\sqrt{m}+ n$, όπου $m,n$, ακέραιοι αριθμοί, να βρεθεί το άθροισμα $m+n$.
USA Purple Comet 2007
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Κύριε Ρωμανίδη,
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι σωστή η διατύπωση
"Αν η διάμετρος του δεύτερου κύκλου έχει μήκος
(ρίζαm)+m, όπου m,n, ακέραιοι αριθμοί, να βρεθεί
το άθροισμα m+n." ?
Καλημέρα κ. Αλεξίου, έχετε δίκιο. Το διόρθωσα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλή Ανάσταση....
Φέρνουμε την κάθετο στην ΑD μέχρι να τμήσει την AF,
ΑπάντησηΔιαγραφήέστω στο σημείο D'
Τρίγωνο ΑDD' ορθογώνιο με γωνίες 90, 60, 30 μοιρών.
Άρα (DD')^2=40^2-20^2 => DD'=20riza3
Το κέντρο του δεύτερου κύκλου είναι το σημείο τομής
των AD και της διχοτόμου της γωνίας AD'D, έστω Ο.
Γωνία OD'D=30/2=15 μοίρες.
Άρα ΟD=20riza3 * tan15 =20riza3*(2-riza3)=
= 40riza3-60 = riza4800-60
Επειδή ΟD (ακτίνα 2ου κύκλου) =riza(m) +n =>
m=4800 και n=-60, άρα
m+n = 4800-60=4740