"... Άφησα να περάσει μια νύχτα και γύρισα να ελέγξω ξανά τα αποτελέσματά μου, και στις έντεκα το πρωί έμεινα ικανοποιημένος. Γύρισα στο σπίτι και είπα στη γυναίκα μου: "Το έχω. Νομίζω ότι το έχω. Το βρήκα". Και ήταν τόσο απρόσμενο...νομίζω ότι σκέφτηκε πως μιλούσα για το παιχνίδι ενός από τα παιδιά, και με ρώτησε: "Τι βρήκες;" Και της απάντησα: "Διόρθωσα την απόδειξη. Τα κατάφερα."
Άντριου Γουάιλς
Όλοι νομίζουν ότι η παράγωγος του $x^2$ είναι $2x$. Kι όμως, μετά την κατασκευή του $e^π$ με κανόνα και διαβήτη, πέτυχα να αποδείξω και ότι η παράγωγος αυτή είναι $x$.
Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Το $x^2$, όπως ξέρουν και τα μικρά παιδιά, είναι $x\cdot{x}$ .
Δηλαδή: $x$ φορές το $x$.
$f(x)= x^2 = x+x+x+...+x$, ($x$ φορές)
Άρα $f'(x)=d/dx [x+x+...+x]$, ($x$ φορές)
$= d/dx[x] + d/dx[x] +...+d/dx[x]$, ($x$ φορές)
$= 1+1+...+1$, ($x$ φορές)
Η παράγωγος λοιπόν d/dx του $x^2$ είναι $x$ (!)
Πού βρίσκεται η πλάνη; Ή μήπως πρέπει να πάρω το μετάλλιο Fields;
O Wiles πάντως δεν το πήρε για την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, λόγω ...μεγάλης ηλικίας! (αξιοκατάκριτη τυπολατρία...) :-)
Η εξίσωση f(x)=x2=x+x+x+...+x, (x φορές)
ΑπάντησηΔιαγραφήισχύει μόνο για τιμές του χ ακέραιους αριθμούς,
και όχι για οποιεσδήποτε τιμές του χ πχ δεν ισχύει 7,75^2=7,75+7,75+..+7,75 7,75 φορές, πως θα καταφέρουμε το 7,75 φορές? είναι αδύνατον!
άρα η συνάρτηση f(x)=x2 δεν είναι συνεχής και κατά συνέπεια δεν μπορούμε να ορίσουμε το όριο, άρα δεν μπορούμε παραγωγίσουμε και το μετάλλιο Fields αναβάλλεται!
Ε.Αλεξίου: Εύλογη η παρατήρησή σας. Όπως θα ήταν και εύλογη μια παρατήρηση ότι ο ορισμός για το x^2 με τις συνεχόμενες αθροίσεις είναι επαρκώς ορισμένος μόνο για θετικά x. Aλλά αυτό ξεπερνιέται με χρήση επαναλαμβανόμενων αφαιρέσεων για αρνητικά x.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο προκείμενο , η "προσθετική" ορολογία μπορεί να καλύψει και την περίπτωση που λέτε και έτσι να "αποκατασταθεί" η συνέχεια.
Για παράδειγμα ,αν x=3,5 γράφουμε f(x)=x+x+x+0,5x ή
στο παράδειγμά σας: f(x)= x+x+x+x+x+x+x+0,75x κλπ.
Άρα ,το πρόβλημα "μη συνέχειας" ξεπερνιέται μ'αυτόν τον τρόπο και η υποψηφιότητα για το Φιλντς επανέρχεται.
Το λάθος, πάει λίγο παρακάτω.Είναι λίγο πιο βαθύ..
Το "αποκατασταθεί" στο αποπάνω σχόλιό μου να θεωρηθεί εκτός εισαγωγικών.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥποθέτω πως θεωρείτε ότι το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι δεν έχουμε λάβει υπόψη μας τη μεταβολή των χ όρων. Πράγματι αν αντί χ φορές θέσουμε το ορθό χ+Δχ φορές, τότε βρίσκουμε το σωστό αποτέλεσμα. Αυτή είναι και η δική μου άποψη για το συγκεκριμένο γρίφο, αλλά δέχομαι ότι είναι λίγο αντισυμβατικό να μιλάμε για μη διακριτές φορές.
ΑπάντησηΔιαγραφήswt, ακριβώς! To θεμελιώδες πρόβλημα του συλλογισμού , δεν είναι η "μή συνέχεια" άρα και η αδυναμία διαφόρισης, αλλά το γεγονός ότι αγνοεί το γεγονός ότι ο αριθμός των x που προστίθενται ΔΕΝ είναι σταθερός. Και δεν μεταβάλλεται μόνο το x ,αλλά και ο αριθμός των x-αριών!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔηλαδή, για να χρησιμοποιήσω το παράδειγμα του Ε.Αλεξίου, αυτό ακριβώς (το γεγονός που αναφέρω πιο πάνω) είναι ο λόγος που η παράγωγος της συνάρτησης στο x=7,75 δεν ισούται με 1+1+1+1+1+1+1+0,75 .
Για να ξεκαθαρίσω τι εννοώ:
Θα ήταν ανάλογο με τον ορισμό: f(x) στο x=7,75 o ορίζεται ως 7,75x , στο x=7,85 oρίζεται σαν 7,85x , κ.ο.κ. Ή, μ'αλλα λόγια, στο x=a ορίζουμε την
f(x)=a · a
Η παράγωγος στο x=a ορίζεται σαν το όριο, καθώς το h τείνει στο 0, του [f(a+h) - f(a)] / h.
H πλάνη έγκειται στο γεγονός ότι γράφουμe το f(a+h) σαν a·(a+h) (Από το οποίο όντως βγαίνει f'(a) = a)
Eνώ, η σωστή διατύπωση είναι: f(a+h) = (a+h)· (a+h) . Aπό το ανάπτυγμα το οποίου πλέον θα βρούμε f'(a) = 2a , κατά τα ειωθότα και ορθώς αναμενόμενα!:-)