Πέμπτη 4 Απριλίου 2013

▪ Φ - Χ - Ψ - Ω

Έστω θετικοί ακέραιοι φ, χ, ψ και ω τέτοιοι ώστε:
$φχ + ψω = 34$
$φψ + χω = 26$
$φω + χψ = 29$
Ποιες τιμές μπορούν να πάρουν οι φ, χ, ψ και ω;
Από τα Χανιά, 
Γιώργος Φραγκάκος
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 4.4.13
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS5 Απριλίου 2013 στις 4:15 μ.μ.

    φχ+ψω=34 (1)
    φψ+χω=26 (2)
    φω+χψ=29 (3)

    (1)+(2) δίνει:
    (φ+ω)*(ψ+χ)=60 (α)
    (1)+(3) δίνει:
    (φ+ψ)(ω+χ)=63 (β)
    (2)+(3) δίνει:
    (φ+χ)(ω+ψ)=55 (γ)
    Η (γ) σημαίνει ότι οι (φ+χ)και (ω+ψ) είναι παράγοντες του 55 , άρα αναγκαστικά το 5 και το 11 (δεν μπορεί ένα άθροισμα να είναι 1 ,αφού οι αριθμοί είναι θετικοί)
    Ομοίως, από τη (β) οι μόνοι παράγοντες που ταιριάζουν είναι οι 7 και 9 , οπότε από ένα από τα 2 συμβατά συστήματα που προκύπτουν,ας πούμε το:
    φ+χ=5
    ω+ψ=11
    φ+ψ=7
    ω+χ=9
    προκύπτει (με άθροισμα κατά μέλη ανά δύο)
    φ+χ+ψ+ω=16 (4)
    Αυτή συνάδει και με την παραγοντοποίηση της (α)για διαιρέτες 10 και 6 (φ+ω={10 ,6} ψ+χ={10,6}
    Άρα,αποδείχτηκε ότι το εύρος λύσεων είναι:
    {φ,χ,ψ,ω}={1,4,6,5}
    ή {2,3,7,4}
    .... οι τιμές 1,2,3,4,4,5,6,7 για κάθε μεταβλητή.
    Σύνολο 8 διαφορετικές ακέραιες τετράδες-λύσεις.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS5 Απριλίου 2013 στις 4:26 μ.μ.

    (φ,χ,ψ,ω) = (1,4,6,5) ή (2,3,7,4) ή (3,2,4,7) ή (4,1,5,6)ή (4,7,3,2) ή (5,6,4,1) ή (6,5,1,4) ή (7,4,2,3)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)