Πέντε φίλοι μπροστά στο ΑΤΜ ελέγχουν τα υπόλοιπα των λογαριασμών τους.
ΑΛΕΚΟΣ: Έχω τόσα χρήματα...
ΒΑΣΙΛΗΣ: Τα διπλάσια από σένα έχω, Αλέκο...
ΓΙΩΡΓΟΣ: Εγώ έχω τόσα ώστε τα ποσά μας να αποτελούν ακολουθία!
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Δεν θα το πιστέψετε: Έχω τα χρήματα του Αλέκου, μείον του Γιώργου, μείον εξακόσια Ευρώ! Και είμαι ο τέταρτος όρος της ακολουθίας!
Μπορείτε να μαντέψετε πόσα χρήματα έχει ο πέμπτος φίλος, ο Γιώργος Φραγκάκος από τα Χανιά, αν πάρετε ως δεδομένο ότι είναι ο επόμενος όρος της ακολουθίας;
Από τα Χανιά,
Γιώργος Φραγκάκος
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω οι φίλοι Α Β Γ Δ Φ (Φ για Φραγκάκος για να ξεχωρίζει από τον άλλο Γ)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ Α έχει έστω x. Άρα ο Β έχει 2x (υποθέτω -για το καλό των φίλων- οι λογαριασμοί να μην έχουν αρνητικά υπόλοιπα ,οπότε περιορίζομαι σε θετικούς αριθμούς)
Η δήλωση του Δ δείχνει ότι η ακολουθία Α Β Γ πρέπει να είναι γεωμετρική φθίνουσα (με λόγο 2) ,γιατί αν ήταν αύξουσα, αν ο Γ είχε ας πούμε 4x ή 5x(αν ήταν αριθμητική), το ποσό του Δ θα ήταν αρνητικό. Άρα ο Γ έχει αναγκαστικά x/2.
Oπότε η ακολουθία για τους 4 είναι
x 2x x/2 (x- x/2 -600)ή
x 2x x/2 (x/2 -600)
O 4oς όρος δεν μπορεί να είναι "από πάνω" γιατί το x θα ήταν αρνητικό, άρα είναι "από κάτω" δηλαδή: x/2 -600 =x/4 ,άρα x=2.400
Aνακεφαλ. την ακολουθία:
4800,2400,1200,600,..
Oπότε ο Φ ,για να είναι ο επόμενος όρος μπορεί να έχει 300 (απευκταίο..) ή 9600 οπότε μπαίνει επικεφαλής-καβαλάρης της ακολουθίας!
Αγαπητέ συνονόματε φίλε,
Διαγραφήόλη η, ας πούμε, δυσκολία για τους γιους μου στους οποίους έθεσα το πρόβλημα, ήταν να πονηρευτούν ότι μπορεί να υπάρχουν και αριθμοί μικρότεροι από το μηδέν. Οπότε αυτός που έχει διπλάσια από τον α, σημαίνει ότι έχει λιγότερα - εφόσον έχει διπλάσιο χρέος.
Το βήμα της προόδου είναι φυσικά το α.
Έτσι, το α-γ-600=4α.
Δηλαδή α-3α-600=4α
Άρα α-3α-4α=600
-6α=600 και α=-100
Άρα όλοι φίλοι έχουν κάνει υπερανάληψη και έχουν αρνητικό υπόλοιπο στο λογαριασμό τους.
Έτσι δικαιολογείται και ο τίτλος:
Λεφτά, δεν υπάρχουν.
Στις μέρες οι τυχεροί είναι άφραγκοι.
Οι υπόλοιποι, εκτός από αδέκαροι είναι και χρεωμένοι.
Όταν τους έθεσα την άσκηση οι γιοι μου πήγαιναν Γ και Δ δημοτικού και είχαν ενθουσιαστεί.
Τη δική σου λύση δεν την είχα φανταστεί.
Όπως επίσης και στην άσκηση αυτή http://eisatopon.blogspot.gr/2013/04/blog-post_9033.html#comment-form όπου βρήκες περισσότερες λύσεις, εγώ δεν έψαξα να βρω άλλους συνδυασμούς για τα φ, χ, ψ και ω εκτός από φ=3, χ=2, ψ=4 και ω=7.
Σωστός ο Πατερόλακας! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή