Ross Honsberger (Mathematical Gems III )
Ορίζουμε σαν: "μυστηριώδη γενέθλια" κάποιου, τη χρονιά που η ηλικία του ταυτίζεται με το άθροισμα των ψηφίων του έτους γέννησής του.Π.χ για εμένα που γεννήθηκα το 1968 τα μυστηριώδη γενέθλιά μου ήταν όταν ήμουν 24, το 1992. Ο κάθε άνθρωπος έχει προφανώς μία μόνο φορά "μυστηριώδη γενέθλια". Μπορεί όμως δυο διαφορετικές χρονιές γέννησης να δώσουν ίδια "μυστηριώδη γενέθλια" για κάποιους. Π.χ κάποιος που γεννήθηκε το 1899 είχε Μ.Γ το 1926. Την ίδια χρονιά (1926) είχε όμως και κάποιος που είχε γεννηθεί το 1908.
Ποια είναι η επόμενη χρονιά, μετά το 1926, που μπορεί να έχει συμβεί (ή να συμβεί ) αυτό; Δηλαδή 2 άνθρωποι γεννημένοι σε διαφορετικές χρονιές ,να έχουν κοινά "μυστηριώδη γενέθλια" σ'αυτή τη χρονιά;
Είναι το 2016 και οι χρονιές που γεννήθηκαν είναι 1989 και 2007 αφού
ΑπάντησηΔιαγραφή1989+(1+9+8+9)=1989+27=2016
2007+(2+0+0+7)=2007+9=2016
Ψάχνουμε χρονιές πολ/σια του 9 αφού το άθροισμα αυτών των χρονιών είναι επίσης πολ/σιο του 9 άρα προσθετοντάς το άθροισμα των ψηφίων της ημερομηνίας σε αυτή καταλήγουμε σε ημερομηνία που είναι ξανά πολ/σιο του 9
Το θέμα είναι ότι πρέπει να βρούμε 2 ημερομηνίες που δίνουν διαφορετικό πολ/σιο του 9 και η μικρότερη να δίνει μεγαλύτερο πολ/σιο από τη μεγαλύτερη διαφορετικά δεν καταλήγουμε κάπου...
Ψάχνουμε σε αλλαγή αιώνα αφού με την αλλαγή αλλάζει αυτόματα και το πολ/σιο του 9 σαν άθροισμα ψηφίων
Διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΕφόσον υπάρχει η ίδια ιδιότητα και για πολ/σια του 3 τότε ισχύουν τα παραπάνω σχόλια με τη μόνη διαφορά ότι ο επόμενος αριθμός είναι ο 2004
και η ημερομηνία γεννησής τους είναι 1983 και 2001
Άρα τα Μ.Γ είναι 21 για τον μεγαλύτερο και 3 γαι τον μικρότερο
1983+21=2004
2001+3=2004
Αγαπητέ Ντονάλτιε, όχι. Υπάρχει άλλη χρονιά πιο νωρίς από το 2004. Και πρέπει και να αποδειχτεί ότι αυτή είναι η ενωρίτερη δυνατή, μετά το 1926. Το σκεπτικό σου με τα πολλαπλάσια του 3 είναι λάθος/προβληματικό.(δηλαδή δεν συνιστά απόδειξη)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι γεννηθέντες τα έτη 2000 και 1982
ΑπάντησηΔιαγραφή2000+2=2002
1982+1+9+8+2=2002
(και προσθέτοντας ανά ένα έτος στα έτη γέννησης
μπορούμε να έχουμε και άλλα μυστηριώδη γενέθλια
μέχρι τα έτη 1999 και 2017 που θα συμπέσουν το 2027, όπου πρέπει να αλλάξουμε εκατονταετία.
Γιατί πρέπει να έχουμε διαφορετική εκατονταετία για να έχουμε μυστηριώδη γενέθλια?
Διότι αν έχουμε ίδια χιλιετία, ίδια εκατονταετία και διαφορετική δεκαετία κατά μία δεκάδα, τότε τα αθροίσματα θα είναι το ένα περιττός αριθμός και το άλλο άρτιος ή το αντίστροφο, ποτέ και τα δύο περιττά ή άρτια, διότι ίδια χιλιάδα, ίδια εκατοντάδα, οι μονάδες προστίθενται 2 φορές άρα η διαφορά των δεκάδων κατά μία θα δίνει ζυγό(ή περιττό αριθμό) στο ένα άθροισμα και περιττό (ή ζυγό) στο άλλο, π.χ
1958+1+9+5+8=1981
1962+1+9+6+2=1980
αν έχουμε διαφορετικές δεκαετίες κατά δύο, παρακάμπτουμε μεν τον παραπάνω σκόπελο αλλά δεν βγαίνουν τα αθροίσματα και στις καλύτερες των περιπτώσεων π.χ
1969+1+9+6+9=1994
1980+1+9+8+0=1998, μικρότερη δυνατή διαφορά 4 έτη)
πόσο μάλλον με διαφορά 3 ή περισσότερες δεκαετίες!
Έτσι η μικρότερη δυνατή χρόνια γέννησης τον επόμενο αιώνα είναι το 2000, άρα έτος "μυστηριωδών γενεθλίων"
το 2002 και η αντίστοιχη χρονιά γέννησης το 1982.
@RIZOPOULOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχετε δίκιο.Έπιασα το concept της αλλαγής εκατονταετίας όπως γράφω και στο 1ο σχόλιο αλλά δεν το ανέλυσα περαιτέρω και κακώς επικεντρώθηκα στα πολ/σια του 3.Συγεκριμένα έγραψα
"Ψάχνουμε σε αλλαγή αιώνα αφού με την αλλαγή ..."
Φυσικά η ανάλυση του κ. Αλεξίου είναι η σωστή
"Διότι αν έχουμε ίδια χιλιετία, ίδια εκατονταετία και διαφορετική δεκαετία κατά μία δεκάδα, τότε τα αθροίσματα θα είναι το ένα περιττός αριθμός και το άλλο άρτιος ή το αντίστροφο, ποτέ και τα δύο περιττά ή άρτια"
και "οι μονάδες προστίθενται δύο φορές", εννοώντας εμμέσως πλην σαφώς ότι δίνουν άθροισμα (οι μονάδες) πάντα άρτιο αριθμό, π.χ 1+1=2, 2+2=4, 3+3=6,..,9+9=18
ΑπάντησηΔιαγραφή@Ευθυμιος Αλεξιου
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπο περιέργεια μιας και σας βλέπω συχνά στο ιστολόγιο,τι επάγγελμα κάνετε?
@ donaltios duckios
ΑπάντησηΔιαγραφήΕλεύθερος επαγγελματίας πολιτικός μηχανικός ΕΜΠ και αυτοδίδακτος "αρχιτέκτονας", η Αρχιτεκτονική με τράβηξε πολύ νωρίς. Το αντικείμενο του επαγγέλματος μου ήταν μελέτες και κατασκευές ιδιωτικών κτηριακών έργων.
Έχω υποβάλει αίτηση για συνταξιοδότηση πριν μερικούς μήνες, έτσι και λόγω της κρίσης και λόγω της συνταξιοδότησης δουλεύω σαν μηχανικός σε συνεργασία με άλλο γραφείο (υπογραφές κλπ) λιγότερο από πριν και έχοντας ελεύθερο χρόνο στην διάθεση μου, για πρώτη φορά στη ζωή μου, αποφάσισα να συνεχίσω τις...σπουδές μου στα μαθηματικά μετά από κοντά σαράντα χρόνια!
Πώς με βλέπετε σαν.. "μαθητή"?
Εσείς με τι ασχολείσθε?
Όντως η πρώτη χρονιά μετά το 1926 που μπορεί να συμβεί το ζητούμενο είναι το 2002. Και τα αντίστοιχα έτη γέννησης , το 1982 και το 2002.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑΠΟΔΕΙΞΗ:
To άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε έτους πριν το 1899 ,είναι -το πολύ- 27, έτσι τα Μ.Γ. κάποιου που γεννήθηκε πρίν το 1899 ήταν αναγκαστικά πριν το 1926.
Έτσι, για να έχει κάποιος Μ.Γ μετά το 1926 πρέπει να έχει γεννηθεί το 1900 ή αργότερα.
Έστω το έτος γέννησης: 19αβ (α,β : ψηφία) 19αβ= 1900+10α+β. Άθροισμα ψηφίων=10+α+β
Άρα ,τα Μ.Γ συμβαίνουν στο έτος: 1900+10α+β+10+α+β=1910+11α+2β
Ομοίως ,για μια άλλη χρονολογία γέννησης, έστω την 19γδ , ισχύει ότι τα Μ.Γ είναι στη χρονιά: 1910+11γ+2δ
Εξισώνοντας ,πρέπει να ισχύει: 11(α-γ)=2(δ-β) (1)
Η (1) δηλώνει ότι η ποσότητα (δ-β) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 11.
Το δ και το β όμως είναι ψηφία απο 0 έως 9 ,άρα το (δ-β) έχει ακρότατες τιμές το -9 και το 9.
Συνάγεται λοιπόν (σαν μοναδική δυνατότητα) ότι δ-β=0 και επομένως και α-γ=0
Συνεπώς ισχύει: δ=β και α=γ που σημαίνει ότι τα έτη 19αβ και 19γδ πρέπει να ταυτίζονται ώστε 2 άνθρωποι να έχουν Μ.Γ. ταυτόγχρονα, δηλαδή πρέπει να έχουν γεννηθεί το ίδιο έτος.
Ανακεφαλαιώνοντας, δείξαμε ότι αν 2 άνθρωποι γεννημένοι σε διαφορετικά έτη ,έχουν Μ.Γ το ίδιο έτος ΚΑΙ αυτό το έτος είναι μετά από το 1926, ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας πρέπει να έχει γεννηθεί αργότερα από το 1999, και άρα τα Μ.Γ αυτού του ανθρώπου δεν μπορεί να ήταν πριν το έτος 2002.
Quod erat demonstrandum.
@Ευθυμιος Αλεξιου
ΑπάντησηΔιαγραφήΉμουνα σχεδόν σίγουρος ότι είστε πολυτεχνίτης από τις απαντήσεις και την ευχέρεια που έχετε στους γρίφους.Η μεγάλη σας αγάπη είναι τα μαθηματικά από παλιά ε(σα "μαθητής" είστε εξαιρετικός :-) :-))?Και εμένα μου αρέσουν αρκετά.Είμαι φοιτητής οικονομικών αλλά για να είμαι ειλικρινής αν μου δινόταν πάλι η ευκαιρία θα επέλεγα μαθηματικό,φυσικό ή χημικό...(επιστήμη και όχι "επιστήμη" σαν τα οικονομικά)