Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδειχθεί ότι:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{R^2}$.
Nordic Mathematical Olympiad 2004
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
1/ab +1/bc+ 1/ca = (a+b+c)/abc
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου και r η ακτίνα του εγγεγραμμένου σε αυτό κύκλου τότε
Ε= ((a+b+c)/2)*r => (a+b+c)=2E/r
επίσης Ε=abc/4R => abc=4RΕ =>
(a+b+c)/abc=(2E/r)/4RE = 1/2Rr
Από την ανισότητα Εuler 2r==1/R^2
Η ισότητα ισχύει όταν d=0, δηλαδή όταν οι κύκλοι, εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος, είναι ομόκεντροι.
Δεν μεταφέρθηκε σωστά το σχόλιο μου από τον κειμενογράφο, το επαναφέρω.
ΑπάντησηΔιαγραφή1/ab +1/bc+ 1/ca = (a+b+c)/abc
Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου και r η ακτίνα του
εγγεγραμμένου σε αυτό κύκλου τότε
Ε= ((a+b+c)/2)*r => (a+b+c)=2E/r
επίσης Ε=abc/4R => abc=4RΕ =>
(a+b+c)/abc=(2E/r)/4RE=1/2Rr
Από την ανισότητα Εuler 2r==1/R^2
Η ισότητα ισχύει όταν d=0, δηλαδή όταν οι κύκλοι,
εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος, είναι ομόκεντροι.
Πολύ παράξενο 2η φορά τα ίδια συμπτώματα
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι αφαίρεση κειμένου και αλλαγή συμβόλου!!??
1/ab +1/bc+ 1/ca = (a+b+c)/abc
Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου και r η ακτίνα του
εγγεγραμμένου σαυτό κύκλου τότε
Ε= ((a+b+c)/2)*r => (a+b+c)=2E/r
επίσης Ε=abc/4R => abc=4RΕ =>
(a+b+c)/abc=(2E/r)/4RE=1/2Rr
Κάνω χρήση της ανισότητας Εuler 2r μικρότερο ή ίσον R,
η ανισότητα συνάγεται από την σχέση:
d^2=R(R-r), όπου d η απόσταση των κέντρων των κύκλων
συμπεραίνουμε ότι (a+b+c)/abc μεγαλύτερο ή ίσον 1/R^2
Η ισότητα ισχύει όταν d=0, δηλαδή όταν οι κύκλοι,
εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος, είναι ομόκεντροι.
Υ.Γ Η σωστή σχέση που δίνει το d^2 είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφήd^2=R(R-2r)
και όχι d^2=R(R-r), όπως από δικό μου λάθος γράφτηκε.