Το τμήμα είναι μεσοκάθετο της πλευράς της επίκεντρης γωνίας . Η διχοτόμος της , τέμνει τη στο .
Δείξτε ότι .
Πηγή: mathematica (KARKAR)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Φέρω τις ΑΝ και ΝΟ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο τρίγωνο ΑΝΟ είναι ισόπλευρο αφού
ΑΟ=ΟΝ και και το ΝΜ είναι ύψος και διάμεσος.
Η γωνία ΑΟΒ (έστω φ) με τη μη κυρτή της (φ΄) έχουν άθροισμα 360 μοίρες.
Η γωνία ΑΟΣ=φ/2, εφόσον η ΟΣ είναι διχοτόμος.
Η γωνία ΑΝΒ=φ΄/2, εφόσον είναι εγγεγραμμένη της μη κυρτής, της φ΄ δηλαδή.
Άρα ΑΟΣ+ΑΝΒ=(φ+φ΄)2.
Δηλαδή ΑΟΣ+ΑΝΒ=180.
Αλλά η ΝΑΟ είναι 60 μοίρες,
ως γωνία ισόπλευρου, άρα η απέναντί της στο εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΝSO είναι 180-60, δηλαδή 120 μοίρες.
Από τα Χανιά, Κυριάκος ΦΡΑΓΚΑΚΟΣ