Θεώρημα Van Aubel

Να αποδειχτεί ότι τα κέντρα των εξωτερικών τετραγώνων των πλευρών ενός τυχαίου κυρτού τετραπλεύρου συνδέονται ανά

 

δύο με 2 ίσα και κάθετα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα. (οι μπλε γραμμές στο σχήμα).
AΠΑΝΤΗΣΗ: 

Αν αντιστοιχηθούν ,όπως φαίνεται στο σχήμα, οι κορυφές του τετραπλεύρου με τους μιγαδικούς αριθμούς: 2a, 2b, 2c και 2d στο μιγαδικό επίπεδο, έχουμε:

To σημείο m ( το μέσον της ευθείας που ενώνει τα 2a και 2b) αντιστοιχεί σε : (2a+2b)/2 δηλαδή σε: a+b

Το διάνυσμα από το 2a στο m δίνεται από: (a+b)-2a=b-a

Ωρολογιακής φοράς στροφή αυτού του διανύσματος κατά 90° ,παράγει το διάνυσμα mw, δηλ. το διάνυσμα από το  m στο κέντρο του τετραγώνου, έστω w.
Αυτό (περιστρ. ωρολογιακά κατά  90° ) σημαίνει πολλαπλασιασμό με  −i.
Έτσι το διάνυσμα mw είναι: −i(b − a) = (a − b)i.
Επακολούθως:  w = a + b + (a − b)i. (ο μιγαδικός αριθμός που αναπαριστά το κέντρο αυτού του τετραγώνου (του γαλάζιου)

Ομοίως, οδηγούμαστε στους αντίστοιχους μιγαδικούς αρ. που αναπαριστούν τα κέντρα των υπόλοιπων 3 τετραγώνων και συγκεντρωτικά έχουμε:

w = a + b + (a − b)i
x = b + c + (b − c)i
y = c + d + (c − d)i
z = d + a + (d − a)i

Έτσι οι μπλε ευθείες που ενώνουν τα κέντρα ανά δύο, δίνονται από τα ακόλουθα 2 διανύσματα:

y – w	= c + d – a – b + (c – d – a + b)i
z − x	= d + a − b − c + (d − a − b + c)i

Απ’αυτές προκύπτει:  z − x = −i(y − w).

Αυτή η σχέση μας λέει ότι το διάνυσμα xz παράγεται περιστρέφοντας το wy κατά 90°.
Άρα ,τα τμήματα wy και xz είναι κάθετα και ισομήκη.

YΓ. Με παρόμοιο (αλλά πιο πολύπλοκο και εκτεταμένο) τρόπο αποδεικνύεται το ίδιο και με διανυσματική Άλγεβρα στο καρτεσιανό επίπεδο . Εκεί η διαδικασία αποδεικνύει ότι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων των τμημάτων είναι 0 ,και τα μέτρα τους ίσα.

Αλλά η «μιγαδική» απόδειξη είναι πιο εύκολη και λιτή ,χάρις στην ιδιότητα ότι το διάνυσμα mw παράγεται απλά από τον πολλαπλασιασμό του (b-a) με το -i.

Στο λινκ πιο κάτω και μια interactive καθαρά Γεωμετρική απόδειξη .

http://agutie.homestead.com/files/vanaubel.html