«Ο Ευκλείδης λέει πως από ένα σημείο έξω από μια ευθεία περνάει μόνο μία παράλληλη ευθεία. O Λομπατσέφσκι λέει πως περνάνε άπειρες. Εγώ, λέω πως δεν περνάει καμία!»
(φοιτητής ακόμη, υπό την επίβλεψη του «πρίγκηπα» Γκάους, μπροστά σε ένα
κατάμεστο αμφιθέατρο στο Γκαίτινγκεν, παρουσία του ίδιου του Γκάους).
Ένα πρόβλημα από
μαθηματικούς (Mathematischer
Korrespondenzzirkel Göttingen -Mathematisches Institut) του γνωστού και πολύ σημαντικού στην Ιστορία των Μαθηματικών
πανεπιστημίου του Γκαίτινγκεν (Göttingen) στη Γερμανία.
Τα τρίδυμα Άντον, Μπερτ και Κριστόφ πήραν ως δώρο γενεθλίων
από τη γιαγιά τους 100 ευρώ και τα τρία μαζί. Παραπονέθηκαν όμως στη γιαγιά ότι δεν μπορούν
να τα μοιράσουν ακέραια και δίκαια μεταξύ τους, και η γιαγιά υποσχέθηκε ότι θα τους
δώσει την επόμενη μέρα άλλο 1 ευρώ, τη μεθεπόμενη άλλα 2, την επόμενη άλλα 3
κ.λ.π, συνεχώς δηλαδή ένα ευρώ περισσότερο από την προηγούμενη ημέρα, μέχρι να
μπορέσουν να τα μοιράσουν μεταξύ τους χωρίς πρόβλημα.
Πόσα ευρώ θα πάρει κάθε παιδί τελικά;
Πολλά, πάρα πολλά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξαρτάται από το πόσα χρόνια θα ζήσει η γιαγιά τους και μάλλον θα χρεοκοπήσει αν συνεχίσει να τηρεί την υπόσχεση της πχ σε 10 χρόνια πρέπει να τους δώσει
3650*(1+2+3+...+3650)/2=6.663.075 ευρώ.
Αυτό διότι με την ακολουθία
100+αi, αi=1,2,3,....,ν ευρώ, ένα ευρώ παραπάνω κάθε μέρα από την προηγούμενη δεν θα βρεθούν ποτέ τα παιδιά με αριθμό ευρώ πολλαπλάσιο του 3 (0mod3, αν σωστά μεταφέρω το πολλαπλάσιο του 3).
Δεν θα βρεθούν ποτέ με 0mod3, διότι ξεκινώντας από 100 ευρώ 33*3+1=(1mod3)
συν 1 ευρώ την επόμενη =101=2mod3,
συν 2 την μεθεπόμενη 103=1mod3
συν 3 την επόμενη 106=πάλι 1mod3
και αυτό θα επαναλαμβάνετε διαρκώς κάθε 3 ημέρες.
1mod3+1mod3=2mod3
2mod3+2mod3=4mod3=1mod3
1mod3+0mod3=1mod3 k.o.k μέχρι η γιαγιά να αντιληφθεί την γκάφα της.
Εάν υπολογίσουμε και τα δίσεκτα έτη θα πληρώση ακόμα παραπάνω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστά κ. Κάρλο, αλλά σκέφτηκα να μην τα προσθέσω και γιατί δεν υπολογίζονται εύκολα αλλά και διότι τι είναι 3000 έως 5500 ευρώ περίπου, ανάλογα με τον αριθμό των δίσεκτων 2 ή 3, στα.. 6.663.075 ευρώ
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ σωστά! Διαφωνώ μόνο στο "πολλά! πάρα πολλά!"
ΑπάντησηΔιαγραφήΒασικά , η γιαγιά δεν θα δώσει τίποτα, γιατί άσχετα αν δεσμεύει τα λεφτά, τα τρίδυμα δεν μπορούν να τα μοιράσουν! :-) Είναι σαν ένα τζακ-ποτ που σου λέει κάποιος ότι κερδίζεις κάθε φορά ,αλλά ποτέ δεν το εισπράττεις..τέλος πάντων, υπάρχουν δύο οπτικές :-)
Το ποσό κατά την (ν + 3)μέρα διαφέρει απ'αυτό της ν-ιοστής μέρας:
S(ν+ 3) = 100 + 1 + 2 +···+ (ν+ 3)
= 100 + 1 + 2 +···+ ν +(ν+ 1) + (ν+ 2) + (ν+ 3)
= S(ν) + (3ν+ 6)
= S(ν) + 3(ν+ 2)
Αφού όμως το 3(ν+2) διαιρείται με το 3, το S(ν+3) αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με το S(ν) όταν διαιρείται με το 3.
Κι όπως έδειξε ο κος Αλεξίου το υπόλοιπο αυτό είναι περιοδικά το 1 και το 2 πάντα.
Άρα τα χρήματα δεν διαιρούνται ποτέ με το 3.
"Πονηρή" γιαγιά... :-)