Ρίτσαρντ Φάινμαν (The Character of Physical Law)
Ας θεωρήσουμε την ακολουθία:
1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25,…
Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός;
Θα μπορούσε το πρόβλημα να σταματάει εδώ, αλλά θα ήταν πολύ
εύκολο για τους αετούς και σταυραετούς που παρεπιδημούν σε τούτο δώ το σάιτ! :-)
Ναι, ο επόμενος αριθμός, όπως σίγουρα βρήκατε, είναι το 26.
Ο λαμπρός Ινδός μαθηματικός Aklesh Lahktakia έχει
εργαστεί και δημοσιεύσει εφαρμογές αυτής της ακολουθίας πάνω στη «Θεωρία
κεραιών» (αλλά μην με ρωτάτε πολλά επί του θέματος, δεν το κατέχω!).
Εδώ, θα θέσουμε ένα σχετικά πιο απλό ερώτημα:
Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης αυτής της ακολουθίας; Με άλλα λόγια, αν συμβολίσουμε με a(n) τον n-ιοστό όρο της ακολουθίας, ποιος είναι
ο λόγος a(n)/n;
Δίνονται τα πρώτα σχετικά αποτελέσματα:
n
|
a(n)
|
a(n)/n
|
n
|
a(n)
|
a(n)/n
|
||
1
|
1
|
1
|
5
|
7
|
1,4
|
||
2
|
2
|
1
|
6
|
9
|
1,5
|
||
3
|
4
|
1,3
|
7
|
10
|
1,43
|
||
4
|
5
|
1,25
|
n
|
?
|
…?
|
Aυτός ο λόγος ( a(n)/n ) αυξάνεται απεριόριστα; ή υπάρχει κάποιο όριο στην αύξησή του;
Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιον τύπο που να παράγει τον n-ιοστό αριθμό Connell;
Ο Lahktakia έχει μελετήσει τη γεννήτρια συνάρτηση:
a(n)=2n - [(1+sq.rt(8n-7)/2] , όπου η παράσταση μέσα στις αγκύλες εκφράζει τον μέγιστο ακέραιο k που ανέφεραν οι σχολιαστές Swt και Ε.Αλεξίου.
H έκφραση αυτή μπορεί να γραφτεί στη μορφή:
a(n)/n= 2-[1/n + 0,5*sq.rt(8/n -(7/n)*(1/n)).
O λόγος a(n)/n τείνει στο 2 για μεγάλες τιμές του n.
Π.χ. για n=1000 έχουμε περίπου a(n)=1995 και λόγο 1,955
Μια εναλλακτική θεώρηση είναι αυτή που προτείνει ο Ε. Αλεξίου (και συνδέεται άμεσα και με το σχόλιο του swt) με τα τετράγωνα των υπακολουθιών , η οποία επεκτείνεται ως εξής:
Aς πάρουμε τις πρώτες υπακολουθίες:
1 1
2 2,4
3 5,7,9
4 10,12,14,16
.. ....................
q ...................,q^2
Aυτό σημαίνει ότι η τιμή του τελευταίου όρου κάθε υπακολουθίας Connell είναι της μορφής:
a((1/2)q*(q+1))=q^2
Έτσι,για παράδειγμα , αν q=2 ισχύει α(3)=2^2
Επίσης, γενικά ισχύει:a((1/2)q*(q+1)-p)= q^2-2p (q=1,2,3... p=0,1,2,...,q-1) όπου η μεταβλητή p μπορεί να πάρει q τιμές.
Ας εξετάσουμε το λόγο:
[a((1/2)q*(q+1)-p)]/[(1/2) *q(q+1)-p]=[q^2-2p]/[(1/2)(q^2+q-2p]=
=2 * [1/(1+q/q^2 -2p]
Eπειδή όμως 0<=p<=q-1, το όριο αυτού του λόγου , όταν το q τείνει στο άπειρο, είναι ο αριθμός 2.
Ο Lahktakia έχει μελετήσει τη γεννήτρια συνάρτηση:
a(n)=2n - [(1+sq.rt(8n-7)/2] , όπου η παράσταση μέσα στις αγκύλες εκφράζει τον μέγιστο ακέραιο k που ανέφεραν οι σχολιαστές Swt και Ε.Αλεξίου.
H έκφραση αυτή μπορεί να γραφτεί στη μορφή:
a(n)/n= 2-[1/n + 0,5*sq.rt(8/n -(7/n)*(1/n)).
O λόγος a(n)/n τείνει στο 2 για μεγάλες τιμές του n.
Π.χ. για n=1000 έχουμε περίπου a(n)=1995 και λόγο 1,955
Μια εναλλακτική θεώρηση είναι αυτή που προτείνει ο Ε. Αλεξίου (και συνδέεται άμεσα και με το σχόλιο του swt) με τα τετράγωνα των υπακολουθιών , η οποία επεκτείνεται ως εξής:
Aς πάρουμε τις πρώτες υπακολουθίες:
1 1
2 2,4
3 5,7,9
4 10,12,14,16
.. ....................
q ...................,q^2
Aυτό σημαίνει ότι η τιμή του τελευταίου όρου κάθε υπακολουθίας Connell είναι της μορφής:
a((1/2)q*(q+1))=q^2
Έτσι,για παράδειγμα , αν q=2 ισχύει α(3)=2^2
Επίσης, γενικά ισχύει:a((1/2)q*(q+1)-p)= q^2-2p (q=1,2,3... p=0,1,2,...,q-1) όπου η μεταβλητή p μπορεί να πάρει q τιμές.
Ας εξετάσουμε το λόγο:
[a((1/2)q*(q+1)-p)]/[(1/2) *q(q+1)-p]=[q^2-2p]/[(1/2)(q^2+q-2p]=
=2 * [1/(1+q/q^2 -2p]
Eπειδή όμως 0<=p<=q-1, το όριο αυτού του λόγου , όταν το q τείνει στο άπειρο, είναι ο αριθμός 2.
