Mιά ακολουθία $\{an\}$ είναι άνω φραγμένη, αν υπάρχει αριθμός $M$, τέτοιος ώστε $a_n\leq{M}$, για κάθε $n$. O αριθμός $M$ είναι τότε ένα άνω φράγμα της $\{an\}$. H ακολουθία είναι κάτω φραγμένη, αν υπάρχει αριθμός $m$, τέτοιος ώστε $m\leq{a_n}$, για κάθε $n$. O αριθμός $m$ είναι τότε ένα κάτω φράγμα της $\{a_n\}$. Aν η $\{a_n\}$ είναι άνω και κάτω φραγμένη, καλείται φραγμένη ακολουθία.
Παραδείγματα
(α) H ακολουθία
$1, 2, 3, . . . , n, . . .$
(β) H ακολουθία
$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4},. . .\frac{n}{n+1}, . . . $
είναι άνω φραγμένη από το $M=1$ και κάτω φραγμένη από το $m=\frac{1}{2}$
(γ) H ακολουθία
$-1, 2, - 3, 4, . . . , ( -1)^{n}n, . . .$
δεν είναι ούτε άνω ούτε κάτω φραγμένη.
Γνωρίζουμε ότι μια φραγμένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανάγκην, διότι η ακολουθία $a_n=(-1)^n$ είναι φραγμένη $( -1\leq{a_n}\leq{1})$ αλλά αποκλίνουσα. Oύτε μια μονότονη ακολουθία συγκλίνει αναγκαστικά, διότι η ακολουθία των φυσικών αριθμών $1, 2, 3, . . . , n, . . .$ είναι μονότονη αλλά αποκλίνει. Aν μια ακολουθία είναι όμως ταυτόχρονα φραγμένη και μονότονη, τότε οφείλει να συγκλίνει. Aυτό είναι και το επόμενο θεώρημα.
Θεώρημα μονότονων ακολουθιών
Kάθε φραγμένη μονότονη ακολουθία συγκλίνει.
THOMAS - Απειροστικό Λογισμός
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου