Υπολογίστε την μάζα του Ήλιου, δεδομένου ότι η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι:
$r=1,50\cdot{10^{11}}$ m.
Υποθέστε ότι η Γη ακολουθεί κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο και όχι ελλειπτική.
$G=6,67\cdot{10^{-11}} Nm^2/kg^2$
(G : η παγκόσμια βαρυτική σταθερά / σταθερά παγκόσμιας έλξης)
Βαρυτική έλξη Ήλιου-Γης
ΑπάντησηΔιαγραφήF= GΜm/r^2, όπου:
G η παγκόσμια βαρυτική σταθερά
Μ η μάζα του ήλιου, m η μάζα της γής
και r η απόσταση της Γης απο τον Ήλιο
Κεντρομόλος δύναμη πάνω στην γη κατά την κυκλική, κατά την παραδοχή,
κίνηση της γης γύρω απο τον Ήλιο
Fκ = mυ^2/r, υ η ταχύτητα περιφοράς της γης
Επειδή η βαρυτική έλξη είναι που λειτουργεί σαν κεντρομόλος
δύναμη πάνω στην γη κατά την περιφορά της γύρω απο τον Ήλιο
έχουμε F = Fκ =>
GΜm/r^2 = mυ^2/r =>
GΜ/r = υ^2 => Μ = (υ^2)r/G (1)
H απόσταση που διανύει η γη κατά την διάρκεια μίας περιφοράς
γύρω από τον ήλιο είναι
S = 2πr, άρα υt = 2πr, t ο χρόνος μίας περιφοράς της γης =>
υ = 2πr/t
Aντικαθιστώντας το υ στη σχέση (1) έχουμε
Μ = 4π^2r^3/Gt^2 =>
Μ = 4π^2*(1,5*10^11)^3/(6,67*10^-11 *0,31558149,7632^2*10^16 kg =
= 200,58 10^33 10^11 / 10^16 kg =
= 200,58*10^(33+11-16) kg = 200,58*10^28 kg
= 2,0058*10^30 kg
Αναλογία ήλιου-γης
2,0058*10^30 / 6,1*10^24 = 328.819,67 φορές μεγαλύτερη μάζα!
(προσεγγιστικά βέβαια αφού πήραμε κυκλική περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο, ενώ είναι ελλειπτική)
@Αλεξίου: Πολύ σωστά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα αποσαφηνίσω μόνο για τρίτους (γιατί εκεί που εμφανίζεται ο χρόνος είναι λίγο ασαφές) ότι η ο χρόνος για μία πλήρη περιστροφή(2π (rad) είναι Τ και είναι προφανώς ένας χρόνος = 365 μέρες(περίπου)=365*24ώρες/μέρα *60min/h *60sec/h = 3,15 *10^7 sec.
Είναι αξιοσημείωτο θεωρώ ότι η ακριβής μάζα του Ήλιου εκτιμάται ότι είναι=1,99*10^30 κιλά, που σημαίνει ότι ο χονδρικός υπολογισμός μας έχει σφάλμα προσέγγισης λιγότερο από 1% !