"Ω, βασιλεύ! κατά μεν την χώραν οδοί εισιν ιδιωτικαί και βασιλικαί, εν δε την Γεωμετρία, πασίν εστιν οδός μία!"
Μέναιχμος προς τον Μ.Αλέξανδρο, όταν ο τελευταίος του ζήτησε .."συντόμως αυτώ παραδούναι την Γεωμετρίαν"
Παίζετε ένα παιχνίδι με δύο ζάρια, εναντίον κάποιου, με τους εξής κανόνες:
Σκοπός είναι, ρίχνοντας τα δύο ζάρια ταυτόχρονα να φέρει κάποιος το μεγαλύτερο άθροισμα.
Ρίχνετε πρώτος. Αν δεν σας αρέσει το άθροισμα που φέρατε έχετε την ευχέρεια να ξαναρίξετε, αλλά αν το κάνετε, ισχύει το άθροισμα που φέρνετε τη δεύτερη φορά. Ο αντίπαλος ρίχνει μόνο μία φορά μετά από εσάς, αλλά σε ισοπαλία (ίδιο άθροισμα), κερδίζει αυτός.
Ρίχνετε τα ζάρια και φέρνετε άθροισμα 7.
α) Πρέπει να κρατήσετε το 7 ή συμφέρει να ξαναρίξετε;
β)Αν ακολουθήσετε τη βέλτιστη στρατηγική, ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε το παιχνίδι;
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρόσθεσα και άλλες πλευρές- νούμερα στο ζάρι(το έκανα 12πλεύρο.Εντάξει υπάρχουν και τέτοια ζάρια σε επιτραπέζια χαχαχα) :-) :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα διορθωμένα
a)Πρέπει να ξαναρίξουμε
Τα ενδχόμενα για 7 και άναω με αυτά για 7 και κάτω είναι ίδια άρα έχουμε 50-50 πιθανότητα και δεν έχουμε κάτι να χάσουμε
Συγκεκριμένα
Τα ενδεχόμενα για 7 και κάτω είναι
1+2+3+4+5+6=21
Ενώ για 7 και άνω
6+5+4+3+2+1=21
β)Οι 2 ρίψεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.Η 2η ρίψη δεν διαφοροποιείται πιθανοτικά από την 1η
Για να βρούμε την πιθανότητα σπάμε αναγκαστικά σε ζεύγη γινομένων πιθανοτήτων για κάθε πιθανό άθροισμα
Η πρώτη πιθανότητα του γινόμενου κάθε ζεύγους είναι η πιθανότητα του 1ου παίκτη και η 2η η πιαθνότητα του 2ου έτσι ώστε να έχουμε μικρότερο άθροισμα από αυτό που έριξε ο 1ος παίκτης(η ισοπαλία δεν μας ευνοεί)
Π=(2*1+3*(2+1)+4*(3+2+1)+5*(4+3+2+1)+6*(5+4+3+2+1)+
5*(6+5+4+3+2+1)+.....+1*(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2))/36^2=
(2+9+24+50+90+105+104+90+66+35)/1296=575/1296=44,37%
donaltie: βιάζεσαι αγαπητέ,..και σκοντάφτεις!:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το α): Δεν είναι 50-50 !(hint: Υπάρχουν 1+2+3+4+5 = 15 τρόποι να ρίξεις άθροισμ. 2, 3, 4, 5, ή 6 ...)
Για το β) Η πιθανότητα που ψάχνουμε είναι πιο σύνθετη (σκέψου απλά ότι στον υπολογισμό που κάνεις δεν "μπαίνει" πουθενά η παράμετρος "ο Α παίκτης έχει 2 ρίψεις!" ,άρα κάπου χωλαίνει..)
α) Ωραία για να ρίξω νμικρότερο αριθμό τα ενδεχόμενα είναι 1+2+3+4+5=15
ΑπάντησηΔιαγραφήενώ για ίδιο και μεγαλύτερο 21(21+15=36)
Άρα μας συμφέρει λόγω 21/36=58,3%
Οκ αυτό?(ουφ!)
Για το β) έχουμε δέσμευση λοιπόν και χρήση του τύπου του bayes
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυμβαίνουν 2 πράγματα είτε ρίχνω μια φορά από 8 και πάνω και περιμένω ο άλλος παίκτης να ρίξει μικρότερα αθροίσματα άρα
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ1=1*(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2)+2*(1+2+3+4+5+6+5+4+3)+..../36^2=(35+66+104+105)/1296=280/1296=21,6%
Αν φέρει από 7 και κάτω πρέπει να ξαναρίξει
Π2=(21/36)*{(2*1+3*(2+1)+4*(3+2+1)+5*(4+3+2+1)+6*(5+4+3+2+1)+5*(6+5+4+3+2+1)+.....+1*(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2))/36^2}=
0,583*0,4437=25,86
ΆρΑ Τα 2 αθροίσματα μαζαί είναι
21,6%(δεν ξαναρίχνει)+25,86(ξαναρίχνει)=47,46%
Απάντηση στο α).
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα να κερδίσουμε με μια συγκεκριμένη ζαριά, είναι η αθροιστική (cumulative) πιθανότητα που έχει ο αντίπαλος να ρίξει κάποιο απο τα χαμηλότερα αθροίσματα.
Τρόποι επίτευξης και Πιθανότητα για κάθε άθροισμα είναι:
2 ή12: 1 = 1/36
3 ή 11: 2 = 2/36
4 ή 10: 3 = 3/36
5 ή 9: 4 = 4/36
6 ή 8: 5 = 5/36
7: 6 = 6/36
Eφόσον ο αντίπαλος κερδίζει στις ισοπαλίες, κερδίζει με κάθε άθροισμα 7 ή μεγαλύτερο.
Υπάρχουν 1+2+3+4+5 = 15 τρόποι να φέρουμε άθροισ. 2, 3, 4, 5, ή 6. Αυτό μας δίνει 15/36 = 0.41666...
πιθανότητα νίκης ,αν κρατήσουμε το 7.
Αν ρίξουμε δεύτερη φορά, πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα των πιθανοτήτων κάθε ζαριάς πολλαπλασιασμένους με την πιθανότητα κάθε ζαριάς ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΟΥΜΕ μ'αυτή τη ζαριά. Έχουμε λοιπόν ανά άθροισμα:
2: 1/36*0 = 0
3: 2/36*1/36 = 2/1296
4: 3/36 * 3/36 = 9/1296
5: 4/36 * 6/36 = 24/1296
6: 5/36 * 10/36 = 50/1296
7: 6/36 * 15/36 = 90/1296
8: 5/36 * 21/36 = 105/1296
9: 4/36 * 26/36 = 104/1296
10: 3/36 * 30/36 = 90/1296
11: 2/36 * 33/36 = 66/1296
12: 1/36 * 35/36 = 35/1296
Πρόσθεση αυτών των πιθαν. δίνει:
575/1296 = (περίπου) 0.44367 πιθαν. νίκης αν ξαναρίξουμε.
Άρα συμφέρει να ξαναρίξουμε.
Το β) είναι σωστό?
ΑπάντησηΔιαγραφήAΠΑΝΤΗΣΗ στο β):
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού διαπιστώσαμε ότι η βέλτιστη στρατηγική είναι να ξαναρίξουμε αν φέρουμε στην πρώτη 7 ή μικρότερο, μπορούμε να υπολογίσουμε την ολική πιθανότητα νίκης,ως εξής:
H πιθανότητα αν φέρουμε 8 ή μεγαλύτερο (οπότε δεν ξαναρίχνουμε), δηλαδή η πιθανότητα νίκης με την ΠΡΩΤΗ ΖΑΡΙΑ επί την πιθανότητα νίκης μ'αυτή ακριβώς τη ζαριά.. Όπως φαινεται στο από πάνω σχόλιο ,ισχύει:
8: 5/36 * 21/36 = 105/1296
9: 4/36 * 26/36 = 104/1296
10: 3/36 * 30/36 = 90/1296
11: 2/36 * 33/36 = 66/1296
12: 1/36 * 35/36 = 35/1296
Αν προσθέσουμε τις παραπάνω πιθανότητες έχουμε:
400/1296 ~ 0,31 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗΝ 1η ΖΑΡΙΑ.
Κάθε ζαριά 7 ή χαμηλότερη ξαναρίχνεται, και από πριν βρήκαμε ότι η πιθαν. νίκης με τη 2η ζαριά είναι 575/1296. Η πιθανότητα να ρίξουμε 7 ή κάτω είναι: 21/36 ( 1 - 15/36 = 21/36). Aρα, για ζαριά 2 ως 7 ισχύει: 21/36 * 575/1296 = 12159/46656 = περίπου 0.26
ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΑ ΛΟΙΠΟΝ
0.31 + 0.26 = 0.57
πιθανότητα νίκης με την 1η Ή την 2η ζαριά.
χμ το β) έτσι το απάντησα.Κάτι πρέπει να πήγε στραβά με τις πράξεις...Συμφωνείτε?
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίσης στο α) γιατί είναι λάθος να πούμε ότι 21(>15) ενδεχόμενα μας βελτιώνουν ή μένουμε στο ίδιο άθροισμα(7) άρα συμφέρει να ξαναρίξουμε?Αυτό έγραψα πρακτικά