"Με το ίδιο πάθος αναζητούσα τη γνώση. Επιθυμούσα να κατανοήσω τις καρδιές των ανθρώπων. Ήθελα να μάθω γιατί λάμπουν τα άστρα.
Ακόμα προσπάθησα να κατανοήσω τη δύναμη του αριθμού, η οποία σύμφωνα με τον Πυθαγόρα ελέγχει τη ροή των φαινομένων. Πέτυχα να κατανοήσω λίγα από αυτά τα πράγματα, όχι πολλά."
Bertrand Russell
Στο παλάτι με τα χίλια και ένα δωμάτια υπάρχουν 1001 λάμπες,μία σε κάθε δωμάτιο. Αρχικά όλες οι λάμπες είναι σβηστές. Υπάρχουν επίσης 1001 θαλαμηπόλοι. Ο πρώτος ανάβει κάθε λάμπα. Ο δεύτερος σβήνει κάθε δεύτερη λάμπα. Ο τρίτος πηγαίνει σε κάθε τρίτο δωμάτιο και όποια λάμπα είναι αναμμένη τη σβήνει και όποια είναι σβηστή την ανάβει. Ο τέταρτος πηγαίνει σε κάθε τέταρτο δωμάτιο και κάνει το ίδιο.Την ίδια διαδικασία κάνουν όλοι μέχρι τον τελευταίο, τον χιλιοστό πρώτο.
Μετά το τέλος αυτής της διαδικασίας, πόσες λάμπες είναι αναμμένες στο παλάτι;
Τελικά αναμμένες θα μείνουν οι λάμπες οι οποίες είναι τέλεια τετράγωνα, μιας και έχουν περιττό αριθμό διαιρετών ;) Θα μείνουν, δηλαδή, αναμμένες οι λάμπες 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784, 841,900 και 961.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι λάμπες που θα είναι αναμμένες θα πρέπει να έχουν μονό αριθμό διαιρετών, μονό αριθμό διαιρετών έχουν μόνο τα τέλεια τετράγωνα, τα τέλεια τετράγωνα από το 1 μέχρι το 1000 είναι 31, άρα τόσες είναι και οι αναμμένες λάμπες
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα δωμάτια που είναι πρώτοι αριθμοί, θα μείνουν σβηστά. {ο πρώτος θαλαμηπόλος θα τα ανάψει και ο δεύτερος θα τα σβήσει). Όλα τα άλλα - πλην των δωματίων που είναι σε αριθμό τέλειο τετράγωνο - θα μείνονυ επίσης σβηστά γιατί έχουν άρτιο πλήθος διαιρετών.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ πρώτος θα τα ανάψει ο τελευταίος θα τα σβήσει.
Θα μείνουν με αναμμένο φως μόνο όσα είναι σε θέση τέλειου τετραγώνου επειδή έχουν περιττό πλήθος διαρετών. Δηλαδή 31 δωμάτια.
Ηλίας Φραγκάκος
Χανιά Θεός
@ Aνδρέας Τσόλκας & Πατερόλακας :Πολύ σωστά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς μου επιτραπεί να επεξηγήσω λίγο την απάντηση.
Είναι προφανές καταρχάς ότι αναμμένη λάμπα θα είναι μια λάμπα που έχει δεχτεί περιττό αριθμό επισκέψεων 1, 3, 5,…2ν +1 γενικά.
Κάθε ακέραιος αριθμός που δεν είναι τέλειο τετράγωνο έχει άρτιο αριθμό παραγόντων.
Αν είναι πρώτος έχει 2 (το 1 και τον εαυτό του ) έτσι ας πούμε στο δωμάτιο 83 θα ανάψει η λάμπα από τον 1ο θαλαμηπόλο και θα σβηστεί από τον 83ο . Ο αριθμός ας πούμε 85 έχει παράγοντες : 1 , 5, 17, 85 οπότε πάλι θα « ανάψει-σβήσει-ανάψει-σβήσει» από τους αντίστοιχους θαλαμηπόλους.
Τα τέλεια τετράγωνα όμως ,παρουσιάζουν στον αριθμό των παραγόντων τους συμμετρία με κέντρο τη ρίζα τους. Π.χ ο 81 έχει παράγοντες : 1, 3, 9, 27,81 . Oι παράγοντες σχηματίζουν ανά δύο «ζευγαράκια» (το 1 με το 81 , το 3 με το 27) και μένει πάντα η ρίζα (εδώ το 9) μόνο του.
Άρα όλα τα τέλεια τετράγωνα, και μόνον αυτά, όπως σωστά επισήμαναν οι δύο συνμπλογκίτες, δίνουν αναμμένες λάμπες.