Ένας κώνος με ανοικτή βάση (περίπου σαν τον εικονιζόμενο, αλλά απόλυτα αυστηρός/τυπικός στερεομετρικά) έχει επιφάνεια χαρτιού ίση με A.
Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος που μπορεί να φέρει /περιέχει;
Ζητείται δηλαδή, να εκφραστεί ο μέγιστος όγκος V, ως συνάρτηση του Α.
Σημείωση: Δίνεται ο γεν. τύπος του Α συναρτήσει του ύψους h και της ακτίνας r:
$A=π×r×(h^2+r^2)^{1/2}$.
Έστω 2α η γωνία του κώνου (τομή επιπέδου που ορίζεται από την διάμετρο και την κορυφή του κώνου)
ΑπάντησηΔιαγραφήA=π*r*λ, (λ η υποτείνουσα των h και r) = π*r^2/ημα =>
r^2=Α*ημα/π => r ={Α*(ημα)/π }^0,5
V=π*r^2*h/3= π*r^3*εφ(1-α)/3= (π*r^3*συνα/ημα)/3 =>
V=[π*{Α*(ημα/π )^0,5}^3*συνα/ημα]/3=(π*(Α*(ημα)/π )^1,5)*συνα/ημα)/3=
(Α*0,564*ημα^1,5*συνα/ημα)/3=(Α^1,5*0,5642*ημα^0,5*συνα)/3
Mε εμπειρικό τρόπο βρήκα(?) ότι ο μέγιστος όγκος με σταθερό εμβαδόν καμπύλου τμήματος Α επιτυγχάνεται για γωνία α=35,24ο (ή περίπου) =>
ημ35,24= 0,577 και συν35,24=0,817 =>
V={A^(3/2)*0,5642*0,7596*0,8167}/3 =0,11667*A^(3/2)