▪ Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Ρίχνουμε ένα βελάκι σε έναν κυκλικό στόχο ακτίνας 1. Το βελάκι μπορεί να χτυπήσει το στόχο σε οποιοδήποτε σημείο του με την ίδια πιθανότητα.

Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ του ίχνους του χτυπήματος και του κέντρου του στόχου;


ΑΠΑΝΤΗΣΗ: H μέση τιμή (μ ή Ε(χ) οι συνηθ. συμβολισμοί) στην περίπτωση μη διακριτών (άπειρων/συνεχών) μεταβλητών ,όπως στην περίπτωσή μας, είναι:
Oλοκλήρωμα (x) x*p(x) dx  (1)
όπου p(x) είναι η "Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας" δηλ. ουσιαστικά η συνάρτηση που εκφράζει την κατανομή αυτής της πιθανότητας.
Στην περίπτωσή μας  η p(x) ορίζεται από το πηλίκο της περιφέρειας του κύκλου με κέντρο το ίχνος του βέλους και ακτίνα την απόσταση x από το κέντρο διά του εμβαδού όλου του στόχου π*1^2=π
Άρα: p(x)= 2π*x/π = 2x

H μέση απόσταση από το κέντρο είναι (από (1) :
Oρισμένο Ολοκλήρωμα (από x=0 ώς x=1) 2x*x dx =2x^2dx= 2x^3 /3 (0 ως 1)=2/3