Ρίχνουμε ένα βελάκι σε έναν κυκλικό στόχο ακτίνας 1. Το βελάκι μπορεί να χτυπήσει το στόχο σε οποιοδήποτε σημείο του με την ίδια πιθανότητα.
Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ του ίχνους του χτυπήματος και του κέντρου του στόχου;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: H μέση τιμή (μ ή Ε(χ) οι συνηθ. συμβολισμοί) στην περίπτωση μη διακριτών (άπειρων/συνεχών) μεταβλητών ,όπως στην περίπτωσή μας, είναι:
Oλοκλήρωμα (x) x*p(x) dx (1)
όπου p(x) είναι η "Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας" δηλ. ουσιαστικά η συνάρτηση που εκφράζει την κατανομή αυτής της πιθανότητας.
Στην περίπτωσή μας η p(x) ορίζεται από το πηλίκο της περιφέρειας του κύκλου με κέντρο το ίχνος του βέλους και ακτίνα την απόσταση x από το κέντρο διά του εμβαδού όλου του στόχου π*1^2=π
Άρα: p(x)= 2π*x/π = 2x
H μέση απόσταση από το κέντρο είναι (από (1) :
Oρισμένο Ολοκλήρωμα (από x=0 ώς x=1) 2x*x dx =2x^2dx= 2x^3 /3 (0 ως 1)=2/3
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: H μέση τιμή (μ ή Ε(χ) οι συνηθ. συμβολισμοί) στην περίπτωση μη διακριτών (άπειρων/συνεχών) μεταβλητών ,όπως στην περίπτωσή μας, είναι:
Oλοκλήρωμα (x) x*p(x) dx (1)
όπου p(x) είναι η "Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας" δηλ. ουσιαστικά η συνάρτηση που εκφράζει την κατανομή αυτής της πιθανότητας.
Στην περίπτωσή μας η p(x) ορίζεται από το πηλίκο της περιφέρειας του κύκλου με κέντρο το ίχνος του βέλους και ακτίνα την απόσταση x από το κέντρο διά του εμβαδού όλου του στόχου π*1^2=π
Άρα: p(x)= 2π*x/π = 2x
H μέση απόσταση από το κέντρο είναι (από (1) :
Oρισμένο Ολοκλήρωμα (από x=0 ώς x=1) 2x*x dx =2x^2dx= 2x^3 /3 (0 ως 1)=2/3
Καλησπέρα κ. Ριζόπουλε
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού είναι δεδομένο, σε αυτή την περίπτωση, ότι το βελάκι μπορεί να χτυπήσει τον στόχο σε οποιοδήποτε σημείο του με την ίδια πιθανότητα τότε η μέση απόσταση του ίχνους του χτυπήματος θα βρίσκεται στην περίμετρο κύκλου με κέντρο το κέντρο του στόχου και ακτίνα, έστω ρ και η οποία περίμετρος χωρίζει τον κύκλο σε 2 ίσου εμβαδού μέρη, έτσι ώστε πιθανότητα μέσα στον μικρό κύκλο να είναι 0.5 και εκτός του μικρού κύκλου επίσης 0,5.
Το εμβαδόν του μικρού κύκλου είναι το μισό του μεγάλου άρα πρ^2=π*1^2/2 =>
ρ=(ρίζα2)/2 = 0,70710678....
Καλημέρα κύριε Αλεξίου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ανάλυσή σας είναι σωστή ως προς το αυστηρά πιθανοτικό μέρος του προβλήματος.
Όντως η ακτίνα ρίζα2/2 χωρίζει το στόχο σε δύο ισοπίθανες περιοχές. Αν ρίξουμε φερειπείν 1000 ή 10000 (όσο περισσότερα, τόσο καλύτερα!) βελάκια στο στόχο, τα μισά θα πέσουν κάτω(προς το κέντρο) απ’αυτό το κυκλικό όριο και τα υπόλοιπα μισά πάνω απ’αυτό.
Αλλά, κι εδώ είναι το λεπτό σημείο!, το ερώτημα δεν ήταν αυτό αλλά η μέση τιμή (ή με αυστηρή ορολογία η μέση αναμενόμενη τιμή (mean value or expected value) της απόστασης από το κέντρο.
Μ’άλλα λόγια, η τιμή ριζα2/2 είναι η διάμεσος(median) τιμή (το όριο των αποστάσεων που αφήνουν 50% πιθανότητα ένθεν κι ένθεν), και όχι η μέση!
Εντάξει, υπάρχει σαφής μαθηματικός τρόπος που ορίζει αυτή τη μεση τιμή, γι’αυτό έβαλα –σαν μια μικρή γενική βοήθεια και τον σχετικό τίτλο.. – αλλά επειδή και μένα μ’αρέσει η εποπτικοποίηση των καταστάσεων , πέραν από τις καθαρές-αυστηρές αναφορές που μπορείτε να βρείτε εύκολα στο ίντερντετ, σκεφτείτε το πρόβλημα γεωμετρικά!
Οι αποστάσεις των βολών μπορεί να προσομοιωθουν με διανυσματα με αρχη το κέντρο και συντεταγμενες τελους x,y (όπου x^2 +y^2=r^2). Oι αποστάσεις αυτές «αντικατοπτρίζουν» /αντιστοιχούν μονοσήμαντα όμως, σε συγκεκριμένους αλλεπάλληλους στοιχειώδεις δακτυλίους …. «ζυγιάζουν» το ίδιο (ως προς τη συμμετοχή τους στο «κέντρο βάρους» της πιθανότητας /μάζας αυτοί οι δακτύλιοι από το κέντρο προς τα άκρα; Ή μήπως όχι;
Αλλά είπα μάλλον πολλά. Σας αφήνω μήπως θέλετε εσείς ή κάποιος φίλος να επανέλθετε, και τα ξαναλέμε!
Καλημέρα κύριε Ριζόπουλε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχετε απόλυτο δίκαιο, είναι άλλο πράγμα η μέση τιμή της θέσης των βελών που υπολόγισα εγώ, νοιώθω βέβαια ικανοποίηση που το υπολόγισα σωστά σε αντίθεση με το...ολίσθημα μου στον.. βάτραχο, και άλλο η μέση απόσταση από το κέντρο του κύκλου.
Έτσι τελείως αυθόρμητα και διαισθητικά λέω ότι είναι μηδέν(0) λόγω συμμετρίας του σχήματος, θα το εξετάσω βέβαια και γεωμετρικά - διανυσματικά (ίδιο περίπου το βλέπω).
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή