Ένας άνθρωπος βρίσκεται αποκλεισμένος πάνω σε έναν βράχο, στο κέντρο ακριβώς μιας κυκλικής λίμνης ακτίνας έστω 1.
Στην περιφέρεια, κατά μήκος της όχθης, κινείται ένα λιοντάρι που τον βλέπει σαν μεζέ! Το λιοντάρι μπορεί να τρέξει 4 φορές γρηγορότερα απ' ό,τι κολυμπάει ο άνθρωπος. Υπάρχει τρόπος να βγει στην όχθη χωρίς να γίνει γεύμα για το λιοντάρι;
ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ: Oι ταχύτητες λιονταριού και ανθρώπου παραμένουν σταθερές χωρίς να ξεμένουν από ενέργεια.Το λιοντάρι δεν μπορεί να κολυμπήσει. Αν ο άνθρωπος φτάσει σε κάποιο σημείο της όχθης και το λιοντάρι δεν είναι εκεί,σώθηκε! (τον παραλαμβάνει ένα "ακαριαίο" ελικόπτερο.)
Wpaios gphfos!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜία τεχνική να σωθεί είναι καθώς κολυμπάει να βρίσκεται, κάθε στιγμή σε ευθεία γραμμή με τα πλαινά σημεία του βράχου και το λιοντάρι, στην ουσία θα διαγράφει και αυτός κύκλο με ακτίνα, μάλλον το 1/4 της ακτίνας της λίμνης, αφού η αναλογία ταχυτήτων είναι 1:4 και όταν συμπληρώσει περίπου ένα τέταρτο-κύκλιο να κολυμπήσει σε ευθεία γραμμή, περίπου
ΑπάντησηΔιαγραφήκάθετη της αρχικής ευθείας λιονταριού και βράχου, εννοείται ότι αρχικά θα σημαδέψει με βοήθεια τον περιβάλλοντα χώρο που θα εγκαταλείψει την κυκλική πορεία και το σημείο εξόδου στην ακτή.
Έτσι θα έχει και κάποιο μικρό χρόνο στην διάθεση του για την επιβίβαση στο ελικόπτερο.
Kύριε Αλεξίου, πολύ σωστά! Αλλά, διαμαρτύρομαι γιατί αφήσατε όλη τη "βρώμικη δουλειά" πάνω μου (δηλαδή την συγκεκριμενοποίηση/μαθηματικοποίηση της λύσης). Ας έχει! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑΠΑΝΤΗΣΗ: Η μέγιστη "απόσταση ακτής"(=τόξο κύκλου) από το λιοντάρι, που μπορεί να έχει ο κολυμβητής όταν στοχεύσει ένα σημείο στην όχθη είναι π (αφού όλη η περιφέρεια είναι 2πR=2π). Αν πέσει λοιπόν στο νερό ,αντιδιαμετρικά από το σημείο που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια το λιοντάρι, και κολυμπήσει προς την όχθη, χρειάζεται για να διανύσει την απόσταση 1 (=ακτίνα) 1 μονάδα χρόνου, ή χρόνο =1. Το λιοντάρι, λόγω τετραπλάσιας ταχύτητας, για να κάνει την απόσταση π και να τον συνατησει στο ίδιο σημείο χρειάζεται χρόνο π/4= 0,785 μονάδες χρόνου,άρα..αντίο ζωή!
Η λύση δίνεται από το γεγονός ότι ο κολυμβητής μπορεί να εκμεταλλευτεί την κυκλική κίνηση και το ότι βρίσκεται κοντά στο κέντρο , οπότε μέχρι το 1/4*R = 1/4 από το κέντρο, μπορεί να διατηρήσει σταθερή απόσταση τόξου ίση με π ,απο το λιοντάρι. Πέφτει δηλαδή στο νερό ,από το πιο απομακρυσμένο /αντιδιαμετρικό σημείο του βράχου ως προς τη θέση του λιονταριού και αρχίζει να κολυμπάει κυκλικά γύρω από το βράχο. Έτσι παρότι ,το λιοντάρι έχει 4πλάσια εφαπτομενική ταχύτητα, ο κολυμβητης μπορεί να διατηρήσει την ίδια γωνιακή ταχ. (άρα και σταθερή και ίση με τουλάχιστον π την απόσταση τόξου) μέχρι απόσταση 1/4 της ακτίνας από το κέντρο. (Ας θυμηθούμε τον τύπο v=ω*R της ομαλής κυκλικής κίνησης! ω=γων.ταχύτητα, v=εφαπτομενική ταχ. και R=ακτίνα)
Εννοείται ότι σε κάθε κύκλο που κάνει, "δίνει" λίγο προς τα έξω προς την ακτή. ΅Εκτελεί δηλαδή ένα είδους σπείρας. Αν το λιοντάρι αλλάξει φορά,αλλάζει κι αυτός και διατηρεί πάντα την μίνιμουμ απόσταση ίση με π. Όταν έχει φτάσει σε απόσταση 1/4 από το κέντρο,απέχοντας πάντα π "τόξο λιονταριού", τότε μόνο στοχεύει σε ευθεία την απέναντι όχθη πάνω στη ιδεατή διάμετρο λιοντάρι-άνθρωπος -όχθη και κολυμπάει προς αυτή.
Για να φτάσει ,χρειάζεται χρόνο 3/4 (το υπόλοιπο της ακτίνας είναι 3/4). Για να φτασει το λιονταρι στο ιδιο σημείο χρειάζεται π/4. Αλλά 3/4<π/4 , άρα σωτηρία!
Κύριε Ριζόπουλε το έκανα συνειδητά, αλλά όχι για να σας αφήσω "όλη τη "βρώμικη δουλειά" πάνω σας"
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτός ο γρίφος υπάρχει σχεδόν πανομοιότυπος και σε άλλο μπλόγκ που εγώ συμμετέχω, οι ήρωες του γρίφου είναι διαφορετικοί, που δεν έχει καμία σημασία, η απαίτηση του γρίφου είναι υψηλότερη, ζητάει την ελάχιστη απόσταση και εκεί ο ιδιοκτήτης δεν αποκαλύπτει τις λύσεις, απαντάει μόνο σωστό ή λάθος.
Γιαυτόν ακριβώς τον λόγο και δεν αναφέρθηκα στην ελάχιστη απόσταση, ευτυχώς που και εσείς δεν αναφερθήκατε παρά μόνο στο 3/4<π/4 που δεν είναι λύση για τον άλλο γρίφο, αφού ζητάει ίσες διαδρομές, τις ελάχιστες και γιαυτόν ακριβώς τον λόγο έγραψα όσο πιο πολύ αόριστα γινόταν, έτσι που μόνο όποιος ξέρει την λύση να καταλάβει, όποιος δεν τον ξέρει να καταλάβει ει δυνατόν τίποτα!