▪ Τρύπια Δεξαμενή

Ένας υδατόπυργος/δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό, με σταθερό ρυθμό: 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Για κάθε 100 λίτρα νερού που υπάρχουν στη δεξαμενή όμως, διαρρέει νερό με ρυθμό 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Αρχικά η δεξαμενή είναι άδεια. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή με 50 λίτρα νερό;

AΠΑΝΤΗΣΗ:  

Έστω V_t  = Ο όγκος νερού στη δεξαμενή στο χρόνο t.

Για στοιχειώδη μεταβολή χρόνου t+Δt ισχύει:

V_t+Δt = V_t + 1*Δt - (Δt/100)*V_t.  

1*Δt είναι ο ρυθμός εισαγωγής νερού (1 λτ/sec), και (Δt/100)*Vt  είναι ο ρυθμός εξαγωγής νερού (1λτ/sec/100 λτ)

Μια διαφορική εξίσωση (παρά την τρομερή της φήμη) είναι μια κανονική εξίσωση ,που σαν άγνωστη μεταβλητή δεν έχει μια τιμή (π.χ x) αλλά μία συνάρτηση ,στην περίπτωσή μας τη συνάρτηση V_t , δηλαδή τη συνάρτηση μεταβολής του όγκου νερού που συσσωρεύεται στη δεξαμενή συναρτήσει του χρόνου t.

Έτσι έχουμε τη γραμμική πρωτοβάθμια διαφ.εξίσωση:

dv/dt = (V_t - V_t+Δt) / Δt = 1 - V/100.  (=dVεισαγωγής – dVεξαγωγής)

dv = (1 - V/100) dt

100/(100-V) dv = dt

Ολοκληρώνουμε στα δύο μέλη:

-100*ln(100-V)=t + K₁

₍K_1,2,3 είναι κάποιες σταθερές ολοκλήρωσης₎

Και μετά από εκθετικοποίηση:

(100-V)^-100 = K₂ * e^t

100-V = e^-t/100 * K₃

V = 100 - K₃*e^-t/100

Ή

V = 100 - K*e^-t/100   

Οι αρχικές συνθήκες, από τις οποίες προσδιορίζουμε την σταθερά K ,είναι: V=0 για t=0, Για V=0 προκύπτει: K=100

Άρα η λύση της διαφορικής εξίσωσης που ψάχνουμε ,δηλαδή η συνάρτηση του όγκου ως προς το χρόνο,  είναι:

V = 100*(1-e^-t/100)

Για V=50 προκύπτει  t=100*ln(2) =περίπου 69,3 δευτερόλεπτα.