Ο Κώστας και ο Γιώργος είναι γκολτζήδες για κλάματα! Ο Γιώργος για περισσότερα κλάματα, επειδή σκοράρει 1 στα 2 πέναλτι. Ο Κώστας σκοράρει 2 στα 3 πέναλτι. Αποφασίζουν να παίξουν μέχρι κάποιος να σκοράρει, οπότε ανακηρύσσεται νικητής. Ο Κώστας αποφασίζει μεγαλόψυχα να παραχωρήσει το πρώτο χτύπημα στο Γιώργο. Ποια είναι η πιθανότητα του Κώστα να νικήσει στη «μονομαχία»;
H πιθανότητα είναι
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ=(1/2)*(2/3)+(1/2)*(1/3)*(1/2)*(2/3)+(1/2)*(1/3)*(1/2)*(1/3)*(1/2)*(2/3)+.....=
=1/3*((1/6)^0+(1/6)^1+(1/6)^2+(1/6)^3+....)=..1/3*(γνωστό αποτέλεσμα αθροίσματος όρων γεωμετρικής προόδου με λ=1/6 που τείνει στο άπειρο)
Δυστυχώς δεν την θυμάμαι
Συμφωνώντας με τον Ντονάλτιο Ντούκιο στον τρόπο που υπολογίζει τις αλληλουχίες και άρα τον τύπο που θα μας δώσει την πιθανότητα, θέλω να προσθέσω όμως, κατά την ταπεινή μου προς το παρόν άποψη στο θέμα των πιθανοτήτων, ότι η παραπάνω σειρά,της οποίας το πλήθος των όρων είναι άπειρο, είναι φραγμένη με φράγμα το 1+0,2=1.2
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεπώς η πιθανότητα του Κώστα είναι
Π=(1/3)*1.2=0.40=40%
Μια μικρή ανάλυση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣουτάρει ο Γιώργος: p(αστοχεί) = 0.5
Κώστας: p(ευστοχεί) = 0.5 x 2/3 = 1/3
{Γιατί ο Γιώργος πρέπει ν'αστοχήσει στην 1η βολή, για να έχει ευκαιρία να σουτάρει ο Κώστας}
Γιώργος(2η): p(δεύτερη αστοχία) = 0.5x1/3x 0.5 = 1/12
{Σημ. Και ο Γ. και ο Κ.πρέπει να αστοχήσουν στις πρωτες για να ξανασουτάρει ο Γ.}
Κώστας (2η): p(επιτυχίας)= 1/12 x 2/3 = 1/18
Πιθανότητα ο Κώστας να νικήσει την 1η ή την 2η ή την 3η φορά ή..κλπ ,είναι:
P = 1/3 + 1/18 + 1/108 + ......
Γεωμετρική σειρά με όριο= 2/5 (ή 40% ,όπως σωστά είπαν οι δύο προλαλήσαντες φίλοι):-)