Έχουμε $5$ μεγάλα σακιά , που περιέχουν το καθένα μεγάλο αριθμών νομισμάτων, έστω $ν$. (το $ν$ νοείται ως "αρκετά μεγάλο" ώστε να μας δίνει δείγμα, όσο θέλουμε μεγάλο). Ξέρουμε ότι τα σακιά μπορεί να περιέχουν τριών ειδών νομίσματα. Νομίσματα που ζυγίζουν 10 γραμμάρια, ή 11 γρ. ή 12 γρ. Κάθε σακί, έχει ενός είδους νομίσματα. Είτε των 10 ,είτε των 11 ,είτε των 12 γραμμαρίων. Διαθέτουμε μια ψηφιακή ζυγαριά, αρκούντως μεγάλη και στιβαρή. Να βρεθεί με ΜΟΝΟ ΜΙΑ (1) ζύγιση το είδος των νομισμάτων που περιέχουν τα σακιά.
ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Η βασική ιδέα για την επίλυση αυτού του δύσκολου προβλήματος περιέχεται/είναι εμπνευσμένη από την λύση του Ε.Αλεξίου στο πρόβλημα "Tα σακιά" εδώ:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://eisatopon.blogspot.com/2013/02/blog-post_6246.html?showComment=1361119817250#c5228284219044624217
Απαιτείται μια "διεύρυνση" -τρόπον τινά- της μεθόδου...
Καλημέρα κύριε Ριζόπουλε
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρχίζω να υποψιάζομαι ότι οι γρίφοι με τα σακιά είναι σήριαλ, ή μήπως σας αδικώ αν είναι δικής σας έμπνευσης?
Αυτή τη φορά επειδή έχουμε να ελέγξουμε διψήφιους αριθμούς 10,11,12, αφού αριθμήσουμε τα σακιά 1,2,3,4,5 (,...ν), μπορούμε να πάμε μέχρι ν σακιά με την ίδια λογική, η επιλογή των νομισμάτων, αρχίζοντας με 1 νόμισμα από το 1 σακί και θα ανεβαίνουμε ανά 2 μηδενικά, δηλαδή 100 από το 2, 10.000 από το 3, 1.000.000. από το 4, 100.000.000 από το 5,...,1 με (ν-1)*2 μηδενικά από το ν σακί και βέβαια με αυτόν τον τρόπο, ανά 2 μηδενικά μπορούμε να ελέγξουμε σακιά που μπορεί να περιέχουν νομίσματα που μπορεί να ζυγίζουν από 1 έως 99 γραμμάρια.
Έτσι αν τα σακιά περιέχουν νομίσματα των 10 γρ. Θα ζυγίζουν
1....10 γρ
2....1.000
3....100.000
4....10.000.000
5....1.000.000.000
..........................
..........................
ν....100000....,ν μηδενικά
αν περιέχουν των 11 γρ. θα ζυγίζουν
1...11
2...1.100
3...110.000
4...11.000.000
5...1.100.000.000
.........................
.........................
ν...11000,...,ν-1 μηδενικά
αν περιέχουν των 12 γρ. θα ζυγίζουν
1...12
2...1200
3...120.000
4...12.000.000
5...1.200.000.000
Έτσι όταν ζυγίσουμε, ανάλογα με την θέση που θα βρίσκονται τα 10,11,12 (1,2,3,....,99) ελέγχοντας από το τέλος προς την αρχή καταλαβαίνουμε τι περιέχει το κάθε σακί από την αρχή προς το τέλος.
π.χ.
Αν το 1ο έχει των 10, το 2ο των 12, το 3ο των 11, το 4ο των 10, το 5ο των 12(και το Νο των...99!), ζυγαριά θα δείξει
(99,....,)12.10.11.12.10 (οι τελείες δικές μου και όχι της ζυγαριάς, εννοείται, για να είναι πιο ευδιάκριτοι οι αριθμοί.
-Γενίκευση μπορούμε να κάνουμε και για ν σακιά που περιέχουν μονοψήφιο, διψήφιο, τριψήφιο,...,
κ-ψήφιο αριθμό γραμμαρίων,
επιλέγοντας προς ζύγιση 1 από το 1ο σακί, σε κάθε περίπτωση και ανεβαίνουμε ανά 1 μηδενικό για μονοψήφιους αριθμούς γραμμαρίων(1 έως 9),
2 μηδενικά για διψήφια γραμμάρια(1 έως 99), η περίπτωση μας, 3 μηδενικά για τριψήφια γραμμάρια (1 έως 999), κ μηδενικά για κ-ψήφιους αριθμούς γραμμαρίων (1 έως κ γρ.)
-Έστειλα την άποψη μου το πρωί σε λάθος θέση,στο διαγώνισμα- αμέσως από πάνω- τον ξαναστέλνω στην σωστή θέση.
Κύριε Αλεξίου, απαντώ στο σχόλιο που αφορούσε αυτό το πρόβλημα και από προφανή παραδρομή ποστάρατε εδώ:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://eisatopon.blogspot.com/2013/02/blog-post_8129.html?showComment=1361263712284#c5643521281212246982
Υποκλίνομαι! Η λύση σας είναι εξαιρετική!
Η ιδέα που είχα κατά νου,που είναι απολύτως ισοδύναμη με τη δικιά σας, λίγο πιο ''οικονομική'' ως προς το τερατώδες μέγεθος των αριθμών που παράγει ,για μεγάλους αριθμούς σακιών, ήταν η εξής:
Χρησιμοποιώ την πεντάδα που αναφέρετε και σεις στη λύση σας ,χάριν εποπτείας/ευκολίας
Έστω λοιπόν τα σακιά 0 , 1, 2, 3, 4, 5 και έστω ότι έχουν αντίστοιχα 10 12 10 12 11 (το άγνωστό μας)
Εφόσον υπάρχουν 3 διαβαθμίσεις (10,11,12) επιλέγουμε από το πρώτο σακί ώς το 5ο (ή το ν-ιοστό στη γενίκευση αριθμό νομισμάτων που αντιστοιχούν σε διαδοχικές δυνάμεις του 3. Στην περίπτωσή μας 1 , 3, 9, 27, 81 από τα σακιά 0, 1,2,3,4 και 5 αντίστοιχα. Σύνολο 121 νομίσματα.
Αν έστω ε=το μικρότερο βάρος,το ελαφρύτερο νόμισμα εδώ το 10 , αποδεικνύεται σχετικά εύκολα (αλλά θα παραλείψω το "σεντόνι"..) ότι η διαφορά, έστω Δ, σε γραμμάρια που προκύπτει ,αν αναλυθεί στο αριθμητικό σύστημα βάσης κ (εδώ 3, τριαδικό σύστημα) μας δίνει ακριβώς τον αριθμό ανά σακί.
Π.χ στο παράδειγμα: Tα 121 νομίσματα τα ζυγίζουμε και βλέπουμε ότι δίνουν Βάρος Β=1351 γρ.
Το αντίστοιχο Β' για 10 γρ. θα ήταν Β'=121*10=1210 γρ. Άρα έχουμε Δ=1351-1210=141 γρ.
Επειδή λοιπόν έχουμε πάρει τα νομίσματα ανά σακί, με βάση το αρ.σύστημα βάσης 3 (1,3,9,27,..) αν αναλύσουμε το Δ=141 στο σύστημα αυτό, θα έχουμε:
Δ= 1*3^4 + 2*3^3 +0*3^2 +2*3^1+0*3^0 . Αυτός ο αριθμός λοιπόν (στο σύστημα βάσης 3) είναι ο: 12020 και μας δείχνει το είδος νομισμάτων σε κάθε σακί (από αριστερά προς δεξιά)
Συγχαρητήρια και πάλι για την λύση σας!
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή