Έχουμε $κ$ μεγάλα σακιά , που περιέχουν το καθένα μεγάλο αριθμών νομισμάτων, έστω $ν$. (το $ν$ νοείται ως "αρκετά μεγάλο" ώστε να μας δίνει δείγμα, όσο θέλουμε μεγάλο). Ξέρουμε ότι κάποιο ή κάποια σακιά περιέχουν κάλπικα νομίσματα. Ένα σακί μπορεί να έχει μόνο κάλπικα ή μόνο γνήσια νομίσματα. Διαθέτουμε μια ψηφιακή ζυγαριά, αρκούντως μεγάλη και στιβαρή. Αν ξέρουμε ότι το κάθε γνήσιο νόμισμα ζυγίζει $10$ γραμμάρια και το κάθε κάλπικο ζυγίζει $9$ γραμμάρια, να βρεθεί με ΜΟΝΟ ΜΙΑ (1) ζύγιση το σακί ή τα σακιά με τα κάλπικα.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Πολύ ωραίος και έξυπνος γρίφος, ολοκλήρωμα και γενίκευση του κλασικού γρίφου “10 σακιά με λίρες τα 9 έχουν γνήσιες το ένα κάλπικες... κλπ”, γρίφο που τον πρωτοείδα - και έλυσα - στο Δελτίο της Μαθηματικής Εταιρείας το 1967 ή 1968, αλλά και για τους παραπάνω λόγους....εύκολος!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑσχολήθηκα λίγο με τετράγωνα κύβους μέχρι 1,2^2, 3^3,....κ^κ σκέφτηκα κατά το 1,2,3,....10 νομίσματα του κλασικού, που έδιναν λύση αλλά μη ελέγξιμη και ιδιαίτερα κοπιαστική, άρα δεν μπορούσε να είναι αυτό, ώσπου ήρθε η έμπνευση .
Αριθμούμε, κατά το κλασικό, τα σακιά 1,2,3,......Κ και παίρνουμε προς ζύγιση 1 νόμισμα από το 1ο σακί, 10 από το 2ο, 100 από το 3ο,1000 από το 4ο,.....1000...0 (κ-1 μηδενικά) από το Κ.
σακιά....νομίσματα προς ζύγιση
1...........1
2...........10
3...........100
4...........1000
.....................
.......................
.......................
Κ.............1000000..0(κ-1 0)
Αν ήταν όλα γνήσια θα ζύγιζαν 111111111111111(κ φορές το 1)*10 γραμμάρια
Τα ζυγίζουμε και το αποτέλεσμα της ζύγισης το αφαιρούμε από το θεωρητικό βάρος.
Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης θα είναι της μορφής, ανάλογα με τα σακιά με το κάλπικο βάρος,
11010011.....1ή0 ανάλογα με το αν το πρώτο σακί έχει κάλπικα ή γνήσια νομίσματα..
Ανάλογα με της θέσεις του άσσου από το ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΡΧΗ καταλαβαίνουμε αντίστροφα
τα σακιά με τις κάλπικα.
π.χ. Αν υπάρχουν άσσοι στην 2η, 5η, 10η,...Κη θέση από το τέλος προς την αρχή,
καταλαβαίνουμε ότι κάλπικα είναι τα σακιά 2,5,10,Κ
ΥΓ και ένα παράπονο-παράκληση
ΑπάντησηΔιαγραφήΜην αναρτάτε γρήγορα την λύση των θεμάτων, ειδικά της γεωμετρίας, όπως το Εμβαδόν Χ, το είχα στο παρά 5 έτοιμο!
Πολύ ωραία και ολοκληρωμένη ανάλυση, κε Αλεξίου, δεν χρειάζεται να πώ τίποτε άλλο επί του προβλήματος!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το "Εμβαδόν Χ" έχετε δίκιο,βιάστηκα λίγο. Απλά,όπως επισημάνθηκε σε σχόλιο με παραπομπή, υπήρχε αναφορά και λύση του θέματος σε φιλικό σάιτ (την οποία και δεν γνώριζα ομολογώ)και θεώρησα ότι δεν υπήρχε λόγος να καθυστερήσει.
Μια μικρή προσθήκη/"τεχνική λεπτομέρεια" μόνο πάνω στο σχόλιο-λύση του Ε.Αλεξίου.
ΑπάντησηΔιαγραφή"Αν ήταν όλα γνήσια θα ζύγιζαν 111111111111111"
Το πρώτο εκ δεξιών ψηφίο θα είναι 0 (10γρ.+100γρ.+...+10^(ν+1) για ν σακιά)π.χ)για ν=4:
10+100+1.000+10.000=11110
Eπίσης να σημειώσω ότι αν έχει ο 1ος σάκος κάλπικα ,το πρώτο εκ δεξιών ψηφίο θα είναι 9 και το επόμενο 0
9+10+100+1000+...10^(ν+1)= 111....1109
ΥΓ. Τα παραπάνω δεν αίρουν τη γενικότητα της μεθόδου και καθαρά "αλγοριθμικά" (π.χ για επεξεργασία από Η/Υ)το θεματάκι με το 1ο σακί μπορεί να "εξαφανιστεί" αν π.χ προσθέσουμε 1 γρ. σε κάθε φορτίο κάθε σακιού.
Έτσι ας πουμε, αν έχουμε 5 σακιά, με κάλπικα στο 5ο θα έχουμε : 11+101+1001+10001+90001=101115 . Το 5ο μηδενικό (εκ δεξιών πάντα)μας δείχνει ότι το 5ο σακί έχει κάλπικα και το πρώτο 5 ότι όντως το πρώτο έχει γνήσια. Αν είχε κάλπικα και το 1ο, θα είχαμε την ένδειξη:101114
στο ""Αν ήταν όλα γνήσια θα ζύγιζαν 111111111111111"
ΑπάντησηΔιαγραφήμε αδικήσατε, προφανώς χωρίς πρόθεση, αν ξανακοιτάξετε θα δείτε πως έγραψα
Αν ήταν όλα γνήσια θα ζύγιζαν 111111111111111(κ φορές το 1)*10 γραμμάρια ίσον δηλαδή με
111111....1110, αναφερόμουν δηλαδή στον αριθμό νομισμάτων (κ φορές)*10 το θεωρ. βάρος.
και στη 2η παρατήρηση
"9+10+100+1000+...10^(ν+1)= 111....1109", εσείς αναφέρεσθε στην πρόσθεση των βαρών των νομισμάτων και ενώ εγώ αναφέρθηκα στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης
Το αποτέλεσμα της ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ θα είναι της μορφής, ανάλογα με τα σακιά με το κάλπικο βάρος,
11010011.....1ή0 ανάλογα με το αν το πρώτο σακί έχει κάλπικα ή γνήσια νομίσματα..
10-9=1 ή 0-0=0
10+100+1000+10000=11110 (θεωρητικό βάρος)
9+100+1000+10000=11109 (ζύγιση)
αφαίρεση=1
9+90+900+9000=1111 (και τα τέσσερα)
Έχετε δίκιο κε Αλεξίου. Διάβασα λίγο βιαστικά και έγραψα βιαστικότερα (οικογ. "πιέσεις" γαρ...)
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε συγχωρείτε!