▪ Συνάρτηση ολοκλήρωμα

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν $f$ είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $Δ$ και $α$ είναι ένα σημείο του $Δ$, τότε η συνάρτηση

$F(x)=\int_a^x{f(t)dt}$, $x\in{Δ}$

είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$. Δηλαδή ισχύει :

$(\int_a^x{f(t)dt})'=f(x)$, για κάθε $x\in{Δ}$.

Για παράδειγμα

$(\int_0^xημ^{2}tdt)'=ημ^2{x}$

και

$(\int_0^xlntdt)'=lnx$.

ΣΧΟΛΙA

● Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει ως εξής:

$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt$=

= Eμβαδόν του χωρίου $Ω$ 

$\approx{f(x)\cdot{h}}$, για μικρά $h>0$.

Άρα, για μικρά $h>0$ είναι

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx{f(x)}$

οπότε

$F'(x)=lim_{h\to{0}}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$.

● Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι :

$(\int_x^{g(x)}f(t)dt)'=f(g(x))\cdot{g'(x)}$

με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.
Για παράδειγμα,
$(\int_0^{x^3}lntdt)'=(lnx^3)\cdot(x^3)'=(3lnx)3x^2=9x^2lnx$.
Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου.