▪ Συνάρτηση ολοκλήρωμα

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν $f$ είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $\Delta$ και $\alpha$ είναι ένα σημείο του $\Delta$, τότε η συνάρτηση

$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, $x\in \Delta$

είναι μια παράγουσα της $f$ στο $\Delta$. Δηλαδή ισχύει :

$({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$, για κάθε $x\in \Delta$.

Για παράδειγμα

$({\int }_0^x\eta {\mu }^{2}tdt{)}^{\prime }=\eta {\mu }^{2}x$

και

$({\int }_0^{x}lntdt{)}^{\prime }=lnx$.

ΣΧΟΛΙA

● Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει ως εξής:

$F(x+h)-F(x)={\int }_x^{x+1}f(t)dt$=

= Eμβαδόν του χωρίου $\Omega$ 

$\approx f(x)\cdot h$, για μικρά $h>0$.

Άρα, για μικρά $h>0$ είναι

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)$

οπότε

$F^{\prime }(x)=li{m}_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$.

● Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι :

$({\int }_x^{g(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.
Για παράδειγμα,
$({\int }_0^{x^3}lntdt{)}^{\prime }=(ln{x}^3)\cdot (x^3{)}^{\prime }=(3lnx)3x^2=9x^{2}lnx$.
Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου.