Σας προτείνουν ένα κάπως παράξενο στοίχημα. Έχετε να διαλέξετε μεταξύ δύο κληρώσεων.
Στην πρώτη υπάρχει μια κληρωτίδα με 2 λευκές και 1 μαύρη μπάλα. Δύο άτομα και εσείς θα τραβήξετε διαδοχικά από μία μπάλα χωρίς επανατοποθέτηση. Νικητής είναι όποιος τραβήξει τη μαύρη. Εσείς θα τραβήξετε τελευταίος (τρίτος).
Στη δεύτερη κλήρωση υπάρχουν 4 διαγωνιζόμενοι (εσείς κι άλλοι 3), μία 1 μαύρη και 3 άσπρες μπάλες στην κληρωτίδα, και πάλι νικητής είναι αυτός που θα τραβήξει τη μαύρη, αλλά έχετε τη δυνατότητα να επιλέξετε αν θα τραβήξετε πρώτος,δεύτερος,τρίτος ή τέταρτος.
Ποια από τις δύο κληρώσεις επιλέγετε, ώστε να έχετε την μεγαλύτερη πιθανότητα νίκης και γιατί;
Στην 1η περίπτωση έχουμε πιθανότητα
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ=(2/3)*(1/2)*1=1/3=33%
Στην 2η περίπτωση οποιαδήποτε και αν είναι η επιλογή της θέσης
Π=1/4=25%
Άρα προτιμάμε την 1η περίπτωση
Α)Περίπτωση με 3 μπάλες,(2Α,1Λ)
ΑπάντησηΔιαγραφή1η κλήρωση Π1=1/3=33.33%
2η κλήρωση Π2=(1-Π1)*1/2(1Α,1Μ)=2/3*1/2=1/3=33,33%
3ος Π3=1-Π1-Π2=1/3=33.33%(1Μ αν μείνει θα μείνει με πιθανότητα 33.33%)
Β)Περίπτωση με 4 μπάλες,(3Α,1Λ)
1η κλήρωση Π1=1/4=25%
2η κλήρωση Π2=(1-Π1)*1/3(2Α,1Μ)=3/4*1/3=1/4=25%
3η κλήρωση Π3=1-Π1-Π2=0.5=1/2(1Α,1Μ)=0,25=25%
4ος=Π=(1-0,25-0,25-0,25)*100%(1Μ αν μείνει)=25%(θα μείνει με πιθανότητα 25%)
Τα ίδια!
Aκριβώς! Άσχετα με τη σειρά που τραβάει κάποιος, η πιθανότητα είναι σταθερή και ίση με 1/ν .
ΑπάντησηΔιαγραφήΥπάρχουν δύο τρόποι (ίσως κι άλλος πιο θεωρητικός,αλλά δεν έχω εύκαιρη την αξιωματικοποίηση του Λαπλάς) να γίνει αυτό απόλυτα ξεκάθαρο.
Ο πρώτος είναι να σκεφτούμε για την περίπτωση των 3 ,τις πιθανές διατάξεις .
Αν 0 αντιστοιχεί στη μαύρη και 1 και 2 στις δύο άσπρες ,έχουμε ως προς τη σειρά που μπορούν να έχουν για όλα τα τραβήγματα:
012, 021, 102, 201, 120, 210
6 ενδεχόμενα, και είναι πια φανερό ότι δεν έχει καμιά σημασία η σειρά που θα τραβήξουμε, γιατί 2 φορές στις 6 το 0 (η μαύρη) βγαίνει πρώτο, 2 στις 6 δεύτερο και 2 στις 6 τρίτο. Άρα πιθανότητα(μαύρη)= 2/6=1/3 = σταθερό.
Ο δεύτερος τρόπος είναι με όρους δεσμευμένης πιθανότητας:
Aν τραβήξουμε πρώτοι ,έχουμε 1/3 πιθανότητες για μαύρη
Αν τραβήξουμε δεύτεροι, δεδομένου ότι ο πρώτος πρέπει να έχει αποτύχει για να πάρουμε σειρά κι η πιθ. αυτή είναι 2/3, έχουμε
2/3*1/2 (η δική μας πιθανότητα σαν δεύτεροι στη σειρά)=1/3
Αν είμαστε τρίτοι: 2/3*1/2*1/1 ή απλά 1-(1/3 +1/3)= 1/3 και πάλι!
Και φυσικά το ίδιο ισχύει και για 4, 5 ή v μπάλες.
Από την προσωπική μου εμπειρία αυτό, είναι ένα από τα ας τα πώ "αντι-διαισθητικά" πορίσματα της θεωρίας πιθανοτήτων.Έρχεται σε αντίθεση (μεχρι να το σκεφτούμε αναλυτικά και νηφάλια) με την διαίσθησή μας δηλαδή. Συνηθισμένο φαινόμενο στις πιθανότητες για όλους.
Αν έχουμε ας πούμε ένα βραβείο για 30 μαθητές (ή και "μεγάλους" για να μην υποτιμούμε τα παιδιά..) και αποφασίσουμε να βάλουμε 29 χαρτάκια άσπρα και 1 με βραβείο σε μια κληρωτίδα και φωνάξουμε να τραβήξουν αλφαβητικά, είναι σχεδόν σίγουρο ότι ο Ααρόπουλος και ο Ωωραιίδης θα διαμαρτυρηθούν, ενώ ο Κκααουρίδης και ο Μμεσαίος μάλλον θα ικανοποιηθούν. Όλοι βέβαια ,αδίκως. :-)