Περπατάτε πάνω σε ένα γεφυράκι στην όχθη και σας πέφτουν 2 κέρματα μέσα στο θολό νερό. Προλάβατε να δείτε μόνο το δεύτερο την ώρα που έπεφτε, και ήταν μονόευρο. Ξέρετε ότι το άλλο ήταν είτε μονόευρο είτε δίευρο. Αν ψάξετε στο νερό και βγάλετε ένα κέρμα του 1 ευρώ (μονόευρο), ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο να είναι μονόευρο;
Έχουμε
ΑπάντησηΔιαγραφή(1/2)*(1/2)*1+(1/2)*1*(1/2)=1/4+1/4=2/4=50%
Εφόσον είναι 50-50 να βρούμε το νόμισμα με βεβαιότητα μονόευρου και πιθανότητα 50-50.Εν συνεχεία αν πετύχαμε το 50-50 τότε το άλλο είναι μονόευρο με βεβαιότητα(1ος όρος) ενώ εάν πετύχαμε το βέβαιο μονόευρο τότε το άλλο είναι 50-50(2ος όρος)
Μια διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΕφόσον έχω ήδηδ βγάλει το μονόευρο τότε η προηγούμενη πιθαντότητα που έγραψα δεν είναι σωστή.Δεδομένου αυτού
Π=(1/2)*1+(1/2)*(1/2)=1/2+1/4=3/4=75%
@donaltios duckios: χμμμ... :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρχικά διακρίνω 2 περιπτώσεις 2 μονόευρα ή 1μονόευρο και 1 δίευρο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεπώς η πιθανότητα αρχικά το να βρει το 1 ήταν
(1(1η π.)+0,5(2η π.)}/2=0,75=75%, αλλά αφού ήδη βρήκε το 1 μονόευρο, για το ενδεχόμενο 2ο απομένει πιθανότητα 1-0.75=0,25=25%
Βέβαια και για αρκετή ώρα ταλαντεύομαι και με το
0,5=50% με την απλή λογική ότι αφού ήδη βρήκε το 1 μονό μέσα θα είναι 1 μονό ή 1 διπλό, άρα
πιθανότητα 50%.
το 0.75 για το 2ο με δεδομένο ότι για το 1ο θα ήταν 0,75 δεν παίζει.
Θα δείξει με την απάντηση του κυρίου Ριζόπουλου!
Αρχικά γνωρίζουμε ότι το ένα είναι μονόευρο και το άλλο μονόευρο ή δίευρο. Συνεπώς έχουμε τα ακόλουθα ενδεχόμενα 1-1 ή 1-2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα η πιθανότητα να έχω δυο μονόευρα Π(1-1) είναι 1/2=0,5.
Στη συνέχεια ψάχνουμε και βρίσκουμε ένα κέρμα του ενός ευρώ. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό ήταν Π(1)=3/4=0,75.
Άρα με εφαρμογή του κανόνα του Bayes, η πιθανότητα να έχω δυο μονόευρα δεδομένου ότι βρήκα ήδη ένα μονόευρο είναι:
Π(1-1|1)=Π(1|1-1)*Π(1-1)/Π(1)=1*0,5/0,75=2/3.
μυστήρια πράγματα...
ΑπάντησηΔιαγραφήπερίεργες συμπτώσεις...
τέσσερις φορές και μόνον αυτές...???
Λοιπόν, έχουμε και λέμε. Οι δύο εκλεκτοί φίλοι έχουν σαν τομή στις αναφορές τους το 50%. Όταν πρωτοαντιμετώπισα παρόμοιο πρόβλημα απάντησα αμέσως 50%. Επίσης,η προσωπική μου εμπειρία στο βαθμό που ενδιαφέρει είναι οτι το 80% (τουλάχιστον) όσων ρωτώ σχετικά, απαντούν 50%. Επίσης μια βόλτα στο ίντερνετ όπου κυκλοφορούν ανάλογα προβλήματα (με ποιο διάσημο και "διφορούμενο" το γνωστό Μόντυ Χωλ,που δεν είναι ακριβώς το ίδιο θεωρητικά,αλλά προκαλεί την ίδιου είδους πλάνη) μας πείθει ότι το 50% πρέπει νάναι η σωστή απάντηση. Στο κάτω -κάτω της γραφής, μιλάμε για ένα 1 νόμισμα που μπορεί να είναι είτε μονόευρο είτε δίευρο. Πώς στην ευχή γίνεται η πιθανότητα να είναι διαφορετική από 0,5 ;.. κι όμως!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ σωστή απάντηση είναι ότι η πιθανότητα και το δεύτερο να είναι μονόευρο είναι δύο στις τρείς :2/3
Το κλειδί είναι να πάμε βήμα-βήμα ώστε να κατανοήσουμε ξεκάθαρα το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα (μακριά απο "τύπους" συστήνω σε τέτοιες περιπτώσεις)
Το πρώτο (αλλά βασικό) είναι να δεχτούμε ότι τα ενδεχόμενα προκύπτουν ΑΦΟΥ ΗΔΗ έχουμε βγάλει 1 μονόευρο. Ή με άλλα λόγια (τα σωστά και ακριβή λόγια είναι πολύ σημαντικά στις Πιθανότητες!) ψάχνουμε την άγνωστη πιθανότητα ξέροντας ότι ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ από τα δύο νομίσματα είναι μονόευρο. Αυτό ειναι και το λεπτό σημείο στη διαδικασία της κατανόησής μας και που τελικά δίνει το διαφορετικό αποτέλεσμα απ'αυτο που μας υπαγορεύει η "κοινή λογική" και η διαίσθηση.
Πάμε λοιπόν στα ενδεχόμενα που μπορεί να ισχύουν, μόλις δούμε οτι το πρώτο νόμισμα που τραβήξαμε είναι μονόευρο.
1ον : 1 μονόευρο ήταν ήδη στο ποτάμι (το πρώτο που μας έπεσε και δεν προλάβαμε να δούμε τι ήταν), και τραβήξαμε το δεύτερο που είδαμε οτι ηταν μονόευρο. Άρα, ένα μονόευρο είναι ακόμη στο νερό.
2ον: 1 μονόευρο ήταν ήδη στο ποτάμι (το πρώτο που μας έπεσε και δεν προλάβαμε να δούμε τι ήταν) ,αλλά τραβήξαμε αυτό ακριβώς ,οπότε ένα μονόευρο, αυτό που είδαμε να πέφτει, είναι ακόμη στο νερό.
3ον : 1 δίευρο ήταν ήδη στο ποτάμι (το πρώτο που μας έπεσε και δεν προλάβαμε να δούμε τι ήταν), οπότε έχουμε τραβήξει το μονόευρο που είδαμε και απομένει στο νερό ένα δίευρο.
Έτερον ενδεχόμενο: Ουδέν! Άρα από τις 3 ισοδύναμες-ισοπίθανες καταστάσεις, οι ευνοϊκές περιπτώσεις για να είναι και το δεύτερο μονόευρο είναι 2 στις 3. Πιθανότης λοιπόν 2/3
Είναι ακριβώς το ίδιο σε πλείστα όσα προβλήματα της μορφής π.χ O Γιάννης έχει 2 παιδιά. Ξέρουμε ότι έχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ είναι κορίτσι (το μονόευρο της περίπτωσής μας). Αν πάμε σπίτι του και δούμε ένα κορίτσι, ποια είναι η πιθαν. και το άλλο να είναι κορίτσι; 2/3 και όχι 1/2
Nα πω επίσης -κατά κάποιο τρόπο σαν επίλογο σ'αυτη την τριλογία (ή τετραλογία ήταν;..) προβλημάτων Πιθανοτήτων ότι η υπέρ το δέον ίσως ανάλυση που έκανα ,ελπίζω να μην παρεξηγηθεί/ θεωρηθεί υπερβολική ή υπεροπτική, και έγινε για δύο λόγους . Πρώτον, γιατί απότι ξέρω το καλό μας ιστολόγιο το παρακολουθούν και αρκετοί μαθητές, που ίσως να μην έχουν ακόμη το θεωρητικό υπόβαθρο για πιο τεχνική /αυστηρώς μαθηματική γλώσσα και δεύτερον, γιατί με την ανάλυση -βάσει των γνώσεων και δυνατοτήτων μου- στα εξ ων συνετέθησαν, κατανοώ και εγώ βαθύτερα και μονιμότερα τα πράγματα! Είμαι της σχολής Αντρέ Βέιλ (αν θυμάμαι σωστά..) που είπε "Στα Μαθηματικά δεν έχεις κατανοήσει κάτι σε βάθος, αν δεν είσαι σε θέση να βγεις στο δρόμο και να το εξηγήσεις ικανοποιητικά στον πρώτο τυχόντα που θα συναντήσεις!" Απ'την άλλη βέβαια υπάρχει και ο Φον Νόυμαν (ή ήταν ο Πωλ Έρντος;) που είπε "Τα Μαθηματικά δεν τα καταλαβαίνεις! Απλά τα συνηθίζεις!"
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν ξέρω...πάντως είμαι της πρώτης σχολής.
Ελπίζω να άρεσαν και να προσέφεραν κάτι τα προβλήματα στους εκλεκτούς συνδαιτυμόνες ,θεωρώ ότι όλα, και ειδικά το παρόν, είχαν κάπως βαθύτερο ενδιαφέρον και εφαρμοσιμότητα, ευχαριστω τους φίλους σχολιαστες για τις απαντησεις και την οπτική τους (χωρίς τα σχόλιά τους, δεν θα είχα τη διάθεση να γράψω οτιδήποτε) και για να παρηγορηθούμε όλοι μαζί για τα τυχόν λάθη που κάνουμε στις Πιθανότητες (στη δε Στατιστική γίνεται πραγματική "σφαγή του Δράμαλη" και μάλιστα από υποτιθέμενους "ειδικούς",αλλά επ'αυτού θα γράψω ξέχωρα ελπίζω) μιάς και ανέφερα πριν τον γνωστό μαθηματικό Πωλ Έρντος και πιο πάνω το "πρόβλημα Μόντυ Χωλ", λέγεται από έγκυρες πηγές ότι πείστηκε πως στην τελευταία επιλογή έπρεπε να αλλάξει ο παίκτης πόρτα, μόνο όταν είδε ένα κατεβατό από επαναλαμβανόμενα computer generated αποτελέσματα που επιβεβαίωναν τη θεωρητική πιθανότητα.
Κι αν αυτό σας φαίνεται ίσως λίγο κατανοητό ,τι να πούμε για κάποιον ελάσσονα παλιότερο Μαθηματικό (και μάλιστα περιστασιακό παίκτη ζαριών) που δήλωνε με αυτοπεποίθηση ότι το να φέρεις 11 ή 12 με δύο ζάρια ήταν το ίδιο πιθανό, γιατί προέρχονται από ένα μοναδικό άθροισμα: 5+6 ή 6+6 ! (ενώ, το 11 έχει ακριβώς διπλάσιες πιθανότητες, γιατί το φέρνεις είτε με 5-6 είτε με 6-5, ανά ίδιο ζάρι).
Το όνομα αυτού; Γκόντφριντ Λάιμπνιτς!!
ΥΓ. Nα πειράξω λίγο τον εκλεκτό συνμπλογκίτη και λύτη κύριο Αλεξίου λέγοντας ότι περίμενα -σαν λάτρης της Γεωμετρίας που είστε- να έχετε ασχοληθεί και να έχετε απαντήσει σε dt που λένε, στο ερώτημα με τον πληθυσμό των ψαριών! Με απογοητεύσατε..
Εννοείται ότι με το πείραγμα, έδωσα κι ένα μικρό βοήθημα-hint για όποιον ίσως θέλει να ασχοληθεί! Είναι πολύ απλό.
ΥΓ2. Εξυπακούεται ότι τα πειράγματα δεν είναι mutually exclusive που λέμε . Θα δεχτώ ευχαρίστως ισόποσες ή και επαυξημένες δόσεις από εσάς, ευκαιρίας δοθείσης. :-)
Σωστά!.Εγώ υπολόγισα μόνο την πιθανότητα το κέρμα να που θα βρω στο νερό να είναι μονόευρο.Δεν πήγα παρακάτω τη σκέψη:(
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο μόνο που αντιλήφθηκα σαν πείραγμα είναι το αγγλικό "mutually exclusive".
ΑπάντησηΔιαγραφήΌσον αφορά τον πληθυσμό των ψαριών βρήκα πράγματι σε χρόνο dt μία πρώτη λύση αλλά σταμάτησα στο εμβαδόν της επιφάνειας της λίμνης ή σωστότερο στον όγκο της λίμνης.
Τον ξέρουμε? ή μπορούμε να τον πάρουμε σαν δεδομένο και ας μην τον ξέρουμε και άρα πηλίκον όγκων?