Έστω ορθογώνιο τρίγωνο στο εσωτερικό ενός ημικυκλίου ακτίνας $\frac{1}{2}$. H μία πλευρά του (όχι η υποτείνουσα) βρίσκεται επί της διαμέτρου του ημικυκλίου. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του;
1999 Harvard/MIT Math Tournament
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Eφόσον η μία κάθετη κείται επί της διαμέτρου του ημικυκλίου η μία κορυφή του τριγώνου πρέπει να είναι στην άκρη (δηλ. στο σημείο τομής της διαμέτρου με το ημικύκλιο) και η άλλη πάνω στο ημικύκλιο που αποτελεί βέβαια(η άλλη κάθετη) και το ύψος, έστω υ του τριγώνου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν η επι της διαμετρου καθετος είναι έστω x ή άλλη κάθετος θα είναι ο γεωμετρικός μεσος του x και του υπολοίπου της διαμετρου που είναι 2*1/2 –x = 1-x. Αυτό είναι γνωστο θεωρημα και αυτή είναι -αν δεν κάνω λάθος με χρήση πυθαγορείου- και η γεωμετρική απόδειξη της γνωστής ανισότητας ΑΜ- ΓΜ (αριθμητικού μέσου –γεωμετρικού μέσου ) μιας και το μεγιστο ύψος προκύπτει στο μεσο της διαμετρου για 2 συμπληρωματικα τμηματα α και β , ρ(ακτίνα)=(α+β)/2 >√ (α*β)
Άρα Υψος υ=√ (x*(1-x) (o γεωμετρικός μέσος των τμημάτων x και 1-x)
Άρα το εμβαδον του τριγωνου μας είναι βάση *υψος/2 = x *√ (x(1−x))/ 2
Η παράγωγος d/dx (x *√ (x(1−x))/ 2) είναι (3-4x)*x/(4√(-x-1)x
Aυτή έχει ρίζες x=0 και x=3/4 άρα για x=3/4 η παράσταση (το εμβαδό του τριγώνου) μεγιστοποιείται και γίνεται: 3/4 *√ ((3/4)*(1−3/4))/ 2 =0,1623..
Για του λόγου το αληθές:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=max+x+*%E2%88%9A+%28x%281%E2%88%92x%29%29%2F+2