Τρίτη 22 Ιανουαρίου 2013

▪Χάμπουργκερ

Πέντε παιδιά θέλουν να φάνε χάμπουργκερ. To καθένα βάζει το πάνω μισό και το κάτω μισό μέρος του ψωμιού στη σχάρα. Όταν τα ψωμάκια ψηθούν, κάθε ένα από τα παιδιά παίρνει τυχαία δύο κομμάτια του ψωμιού από τη σχάρα. Ποια είναι η πιθανότητα κάθε παιδί να πάρει και το πάνω μισό και το κάτω μισό μέρος του ψωμιού;
2nd Annual Harvard-MIT November Tournament 2009
Αναρτήθηκε από στις 22.1.13
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS22 Ιανουαρίου 2013 στις 3:40 μ.μ.

    Eφόσον θέλουμε ΚΑΘΕ παιδί να πάρει τα σωστά ψωμάκια (πάνω και κάτω ) έχουμε συνεχόμενες δεσμευμένες πιθανότητες .
    Το 1ο παιδί διαλέγει ένα ψωμάκι (πάνω ή κάτω). Η πιθανότητα να πάρει ένα πάνω (αν το πρώτο του είναι κάτω) ή ένα κάτω (αν το πρώτο του είναι πάνω) είναι 5/9.
    δηλαδή τα εναπομείναντα πάνω ή κάτω αντίστοιχα διά το σύνολο.
    Το δεύτερο παιδί ομοίως (εφόσον ήδη έχει φύγει ένα σωστό ζεύγος) διαλέγοντας ένα Α ή Κ για να σχηματίσει σωστό ζεύγος έχει πιθ. 4/7
    Με αυτές τις πιθανοτικές προϋποθέσεις το 3ο έχει -με το ίδιο σκεπτικό- 3/5, το 4ο :2/3 και το τελευταίο ,όπως είναι αναμενόμενο εφόσον έχει μείνει μόνο ένα Α κι ένα Κ :1/1.
    Άρα η συνολική πιθανότητα που ψάχνουμε είναι : 5/9 * 4/7 * 3/5 * 2/3 *1/1 = 8/63 = περίπου 12,7%

    Ωραίο πρόβλημα! και θα έλεγα αντιδιαισθητικό αποτέλεσμα (προσωπικά θα το περίμενα μικρότερο το ποσοστό).

    YΓ. Για να πειράξω λίγο το φίλο Μ.Ν (που έδωσε την εξαίρετη λύση στο βατραχοπρόβλημα!) να πω ότι δεν είναι λοιπόν απορίας άξιον που τα αμερικάνικα πανεπιστήμια (και δη τα ''φιρμάτα'')καλούν για διαλέξεις κάτι μυστήριους αποτυχημένους τέως πρωθυπ ..χμ,χμμ.. Άμα κοτζαμάν ΜΙΤ και Χάρβαρντ ασχολούνται με χάμπουργκερς.. :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. MN22 Ιανουαρίου 2013 στις 7:51 μ.μ.

      Σωστό!
      Η λύση γίνεται και με εφαρμογή τύπων της συνδυαστικής, αλλά έχει λίγο περισσότερη φασαρία:

      Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ο λόγος

      (Αριθμός μεταθέσεων σε 5 ζευγάρια ΑΚ,ΑΚ,ΑΚ,ΑΚ,ΑΚ)
      ---------------------------------------------
      (Συνολικός αριθμός συνδυασμών 5 ζευγαριών διαλέγοντας από 5 Α και 5 Κ)

      Ο αριθμητής είναι
      (5^2)(4^2)(3^2)(2^2),
      γιατί στο πρώτο ζευγάρι ΑΚ μπορεί κανείς να διαλέξει από 5 Α και 5 Κ, στο δεύτερο από 4 Α και 4 Κ, και ούτω καθ' εξής.

      Ο παρονομαστής είναι
      (10!/8!/2!)(8!/6!/2!)(6!/4!/2!)(4!/2!/2!)
      Ο πρώτος όρος είναι οι συνδυασμοί 2 αντικειμένων από 10, ο επόμενος οι συνδυασμοί 2 αντικειμένων από 8, και ούτω καθ' εξής.

      Αντικατάσταση αριθμητή και παρονομαστή στο κλάσμα καταλήγει, μετά από σχετικές απλοποιήσεις, στο 8/63.

      Υποθέτω η πάγια ερώτηση "Do you want fries with that?" δεν τέθηκε στους εξεταζόμενους!

      Διαγραφή
    2. MN22 Ιανουαρίου 2013 στις 7:53 μ.μ.

      Όλα τα προβλήματα του σχετικού διαγωνισμού βρίσκονται εδώ:

      https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QRxBc7_13UcJ:web.mit.edu/hmmt/www/november/datafiles/problems/2009-November/pthm09n.pdf+&hl=en&gl=us&pid=bl&srcid=ADGEESiHloAHnR49uwTqcIdu83IFIq2w1xDWOn7An2wDhC18hsjcQRD2XD13HV_luI375TlslP3anVN_coNte8WQ8h2xd_FoU0FGmhxlngmUwDP2ljk2tughwHzVqztqUjO2VAtj4OAq&sig=AHIEtbQ8oXieSRZ7lMS1vPE4lgsZUsYLUg

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)