Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC, (\hat{A}=90^0)$, γράφω τους κύκλους $(B,BA)$ και $(C,CA)$, οι οποίοι τέμνονται και στο $D$.
Από σημείο $S$ του ενός κύκλου, φέρω τις ημιευθείες $SA , SD4 οι οποίες τέμνουν τον άλλο στα $P,Q$. Δείξτε ότι τα σημεία $P,Q$ είναι αντιδιαμετρικά .
Πηγή: mathematica (KARKAR)
Γωνία ACP=180-2CAP=180-(2*(90-SAB)=2SAB=180-SBA
ΑπάντησηΔιαγραφήΓωνία DCP=190-2QDC=180-2*(90-BDS)=2BDS=180-SBD
Αθροίζω τις παραπάνω γωνίες και έχω
ACP+DCQ=360-(SBA+SBD)=ABD=360-ACD-(BAC+BGC) (1)
όμως η BAC είναι ορθή ομοίως και η συμμετρική της BDC =>
(BAC+BGC)=90+90=180o
Η (1) γίνεται ACP+DCQ=360-ACD-180=180-ACD =.
ACP+DCQ +ACD=180ο Συνεπώς P,C,Q συνευθειακά, συνεπώς QP διάμετρος,
συνεπώς Q,P αντιδιαμετρικά.