▪ Κανονικό ν-γωνο

Θεώρημα 

Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής σχέσεις: 

Απόδειξη

Έστω ΑΒΓΔ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λ_ν η πλευρά του και OH = αν το απόστημά του.

(i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH²+HA²=OA², δηλαδή

$a_{ν}^2+(\frac{λ_{ν}}{2})^2=R^2$.

(ii) Επειδή ΑΒ = ΒΓ = ... = ΤΑ = λ_ν, θα είναι Ρ_ν = νλ_ν.

(iii) Επειδή ΑΒ = ΒΓ =....= TA θα είναι

ΑÔΒ = ΒÔΓ = ... = ΤÔΑ = ω_ν

και αφού οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, ... και ΤÔΑ έχουν άθροισμα 360° ,έχουμε νω_ν = 360°, δηλαδή ω_ν = 360°ν

(iv) Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ... , ΟΤΑ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε:

$E_ν=ν(ΟΑΒ)=ν\frac{1}{2}ΑΒ\cdot{ΟΑ}=\frac{1}{2}νλ_{ν}α_{ν}=\frac{1}{2}Ρ_{ν}α_{ν}$.

αφού Ρ_ν = νλ_ν .

Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.