▪Περιγράφεται και εγγράφεται

Θεώρημα

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι.

Απόδειξη

Έστω ΑΒΓΔ ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο. Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές Α, Β, Γ του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρχεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R. Επειδή OB = OΓ = R, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και επομένως Β₁ = Γ₁ = σ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν:

ΟΒ = ΟΓ, ΑΒ = ΓΔ (αφού ΑΒΓΔ... T κανονικό) και

Β₂ = Β - σ = Γ - σ = Γ₂.

Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O,R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ, ... Τ και επομένως το πολύγωνο είναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O,R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O,α) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒΓΔ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,R) και ο εγγεγραμμένος (O,α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.