▪Τριγωνομετρικές ανισότητες (ΙΙ)

Σε κάθε τρίγωνο $ABC$, να αποδειχθούν οι ανισότητες:
1. $sin\alpha sin\beta sin\gamma \le \frac{3\sqrt{3}}{8}$

2. $csc\alpha csc\beta csc\gamma \ge \frac{8\sqrt{3}}{9}$
3.$\frac{3}{4}\le co{s}^2\alpha +co{s}^2\beta +co{s}^2\gamma <3$
4. $se{c}^2\alpha +se{c}^2\beta +se{c}^2\gamma >3$
5. $cs{c}^2\alpha +cs{c}^2\beta +cs{c}^2\gamma \ge 4$
6. $1<sin\frac{\alpha }{2}+sin\frac{\beta }{2}+sin\frac{\gamma }{2}\le \frac{3}{2}$
7. $2<cos\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\beta }{2}+cos\frac{\gamma }{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$
8. $tan\frac{\alpha }{2}+tan\frac{\beta }{2}+tan\frac{\gamma }{2}\ge \sqrt{3}$
9. $cot\frac{\alpha }{2}+cot\frac{\beta }{2}+cot\frac{\gamma }{2}\ge 3\sqrt{3}$
10. $csc\frac{\alpha }{2}+csc\frac{\beta }{2}+csc\frac{\gamma }{2}\ge 6$
11. $sec\frac{\alpha }{2}+sec\frac{\beta }{2}+sec\frac{\gamma }{2}\ge 2\sqrt{3}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com