Σε κάθε τρίγωνο $ABC$, να αποδειχθούν οι ανισότητες:
1. $sin α sin β sin γ ≤\frac{3\sqrt{3}}{8}$
1. $sin α sin β sin γ ≤\frac{3\sqrt{3}}{8}$
2. $csc α csc β csc γ ≥\frac{8\sqrt{3}}{9}$
3.$\frac{3}{4} ≤ cos^{2}α + cos^{2}β + cos^{2}γ < 3$
4. $sec^{2}α + sec^{2}β + sec^{2}γ > 3$
5. $csc^{2}α + csc^{2}β + csc^{2}γ ≥ 4$
6. $1 < sin{\frac{α}{2}} + sin{\frac{β}{2}} + sin{\frac{γ}{2}} ≤\frac{3}{2}$
7. $2 < cos{\frac{α}{2}} + cos{\frac{β}{2}} + cos{\frac{γ}{2}} ≤\frac{3\sqrt{3}}{2}$
8. $tan{\frac{α}{2}} + tan{\frac{β}{2}} + tan{\frac{γ}{2}} ≥\sqrt{3}$
9. $cot{\frac{α}{2}} + cot{\frac{β}{2}} + cot{\frac{γ}{2}} ≥ 3\sqrt{3}$
10. $csc{\frac{α}{2}} + csc{\frac{β}{2}} + csc{\frac{γ}{2}} ≥ 6$
11. $sec{\frac{α}{2}} + sec{\frac{β}{2}} + sec{\frac{γ}{2}} ≥ 2\sqrt{3}$.
3.$\frac{3}{4} ≤ cos^{2}α + cos^{2}β + cos^{2}γ < 3$
4. $sec^{2}α + sec^{2}β + sec^{2}γ > 3$
5. $csc^{2}α + csc^{2}β + csc^{2}γ ≥ 4$
6. $1 < sin{\frac{α}{2}} + sin{\frac{β}{2}} + sin{\frac{γ}{2}} ≤\frac{3}{2}$
7. $2 < cos{\frac{α}{2}} + cos{\frac{β}{2}} + cos{\frac{γ}{2}} ≤\frac{3\sqrt{3}}{2}$
8. $tan{\frac{α}{2}} + tan{\frac{β}{2}} + tan{\frac{γ}{2}} ≥\sqrt{3}$
9. $cot{\frac{α}{2}} + cot{\frac{β}{2}} + cot{\frac{γ}{2}} ≥ 3\sqrt{3}$
10. $csc{\frac{α}{2}} + csc{\frac{β}{2}} + csc{\frac{γ}{2}} ≥ 6$
11. $sec{\frac{α}{2}} + sec{\frac{β}{2}} + sec{\frac{γ}{2}} ≥ 2\sqrt{3}$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου