Έστω $a,b$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν οι εξισώσεις
$x^2+ax+2b=0$
$x^2+2bx+a=0$
έχουν πραγματικές λύσεις, τότε η μικρότερη τιμή του αθροίσματος $a+b$ είναι
α) 2 β) 3 γ) 4 δ) 5 ε) 6
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Προσθέτω τις 2 εξισώσεις, 2χ^2+(2β+α)χ+(2β+α)=0
ΑπάντησηΔιαγραφήχ=[-(2β+α)+-ρίζα{(2β+α)^2-4*2*(2β+α)}]/2*2
Για να έχουμε πραγματικές λύσεις πρέπει (2β+α)*(2β+α) -8*(2β+α) >ή= 0 =>
(2β+α)*(2β+α-8) >ή= 0 =>
2β+α-8 > ή = 0 και αφού θέλουμε την μικρότερη τιμή αθροίσματος
2β+α-8=0=>
2β+α=8
2β ζυγός => α ζυγός
ο μικρότερος α=2
2β+2=8, 2β=6, β=3
α+β=5
Σωστή λύση αν γνωρίζαμε ότι οι αριθμοί α,β είναι ακέραιοι (θετικοί), αλλά στην παρούσα άσκηση δεν δίνεται, άρα το συμπέρασμα
Διαγραφή2β + α = 8 ΆΡΑ α = ζυγός είναι σφαλμένη.
Τι λέτε;;
Έχετε δίκαιο!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό την 1η εξίσωση έχουμε
ΑπάντησηΔιαγραφήχ= ( -α +ή - ρίζα(α^2-4*2β)}/2 (1)
2
Από την 2η εξίσωση έχουμε
χ = {-2β +ή- ρίζα(4β^2-4α)}/2 (2)
Για να έχουμε πραγματικές λύσεις πρέπει
Από (1) α^2–4*2β>ή=0 => (α)^2>ή=8β (3)
Από (2) 4β^2-4α>ή=0 => 4β^2>ή=4α=>β^2>ή=α=>β^4>ή=α^2(4)
Από (3) και (4) συνεπάγεται β^4 >ή= 8β => β^4-8β>ή=0
=> β*(β^3-8) >ή= 0
Επειδή β>0 (θετικός πραγματικός) πρέπει και
β^3-8 >ή=0 => β^3 >ή= 2^3(=8) => β >ή= 2
Αφού β>ή= 2 αντικαθιστώντας στις σχέσεις (3) και (4)
Η (3)γίνεται α^2>ή=8*2, α^2) >ή= 16, =>α>ή=4 (5)
Η (4)γίνεται β^2>ή=α => αααή=4 => β>ή=2 (7)
και από (3) 8β β<ή=2 (8)
Οι (7) και (8) ισχύουν μόνο για β=2
Συνεπώς α+β=4+2=6
Υ.Γ. Στην 1η προσέγγιση δεν έγινε λάθος μόνο στην ανάγνωση των δεδομένων
αλλά και στην λύση όσον αφορά την 1η εξίσωση διότι
για α=2 και β=3 2^2-8*3=-20 αρνητικός και συνεπώς η ρίζα του -20
είναι φανταστικός αριθμός,
μόνο η ρίζα της 2ης εξίσωσης είναι πραγματικός αριθμός.