Τετάρτη 23 Ιανουαρίου 2013

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 485

Έστω $a,b,c,d$ τα μήκη των πλευρών ενός τετραπλεύρου. Αν $S$ είναι το εμβαδόν του, να αποδειχθεί ότι 
$S\leq\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}$.
IMO Longlist 1966
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    
Αναρτήθηκε από στις 23.1.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS24 Ιανουαρίου 2013 στις 12:16 π.μ.

    Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με μήκη πλευρών:
    ΑΒ=a , ΒΓ=b, ΓΔ=c και ΔΑ=d
    Aν φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ σχηματίζονται δύο τρίγωνα που απαρτίζουν το τετράπλευρο. Τα ΑΒΔ και ΒΓΔ. Ως γνωστόν σε κάθε τρίγωνο, έστω ΑΒΓ, ισχύει η θεμελιώδης ανισότητα ότι το εμβαδόν του είναι μικρότερο ή ισο από το ημιγινόμενο δύο οποιωνδήποτε πλευρών.
    Δηλαδή: S(αβγ)<= ΑΒ*ΑΓ/2
    Στην περίπτωσή μας τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ έχουν εμβαδά μικρότερα ή ισα από b*c/2 και d*a/2 ή S<=(bc+da)/2 ή 2S<=bc + da (1)
    Aν πάρουμε όμως το συμμετρικό ως προς τη διαγώνιο ΒΔ σημείο έστω Γ’ ,εντός του τετράπλευρου, σχηματίζεται ένα μη κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ’Δ (με ίσες πλευρές με το ΑΒΓΔ, αλλά διαφορετικό εμβαδόν!) για το οποίο ισχύουν τα ίδια (άλλωστε η προς απόδειξη σχέση δεν περιορίζεται από ην εκφώνηση σε κυρτά μόνο τετράπλευρα). Άρα η εξωτερική πλέον διαγώνιος του ΑΒΓ’Δ έχει ορίσει δύο ίδια τρίγωνα ΒΓΔ=ΒΓ’Δ άρα έχουμε ομοίως όπως πριν για το ΑΒΓ’Δ τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓ’Δ τα οποία έχουν εμβαδό μικρότερο ή ισο από ΑΒ*ΒΓ’ /2 (ΒΓ’=ΒΓ !) και Γ’Δ*ΔΑ/2 (Γ’Δ=ΓΔ !) ή
    S<= (a*b/2) + (c*d/2) ή 2S<=ab+cd (2)
    Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε:
    4S<= bc + da+ ab+cd
    4S<= (b+d)*(a+c) ή S<=(b+d)*(a+c)/4
    S<= (a+c)/2 * (b+d)/2

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)