Τετάρτη 23 Ιανουαρίου 2013

▪ $100$ αριθμοί

Έστω $ a_{1},a_{2},....a_{100}$, διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού
$ a_{1}^{8}+a_{2}^{8}+...+a_{100}^{8}$.
IMO Longlist 1966
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com    
Αναρτήθηκε από στις 23.1.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ14 Αυγούστου 2013 στις 11:37 π.μ.

    Επειδή α1,α2,...,α100 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μπορούν να πάρουν την μορφή α+1,α+2,α+3,α+100
    Κάνω χρήση της ταυτότητας (α+β)^8=α^8+8α^7*β+28α^6*β^2+56α^5+β^3+70*α^4*β^4+56α^3*β^5+28α^2*β^6+8α*β^7+
    +β^8 έτσι
    (α+1)^8=α^8+8α^7+28α^6+56α^5+70α^4+56α^3+28α^2+8α+1
    (α+2)^8 =α^8+16α^7+112*α^6+448α^5+1120α^4+1792α^3
    +1024α+256
    ................................
    .................................
    (α+100)^8=α^8+800α^7+280.000α^6+56.000.000α^5+
    7.000.000.000α^4+560.000.000.000α3+
    28.000.000.000.000α^2+800.000.000.000.000α+10.000.000.000.000.000
    και αθροίζοντας έχουμε:
    α^8 100
    α^7 8*(1+2+3+...+100)=40400
    α^6 28*(1^2+2^2+...+100^2)=9473800
    α^5 56*(1^3+2^3+...+100^3)=1428140000
    α^4 70*(1^4+2^4+...+100^4)=143523333100
    α^3 56*(1^5+2^5+...+100^5)=9615666620000
    α^2 28*(1^6+2^6+...+100^6)=414139995333400
    α^1 8*(1^7+2^7+...+100^7)=104046664.33340000
    των οποίων το άθροισμα έχει 2 μηδέν στο τέλος
    και 1^8+2^8+...+100^8=116.177.773.111.333.330
    Άρα τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού α1^8+α2^8+...+α100^8
    είναι τα 3,0(30)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)