Έστω παραλληλόγραμμο $ΑΒCD$ και $Ε, Ζ$ τα σημεία τομής της διχοτόμου της γωνίας $Α$ με την πλευρά $CD$ και την ευθεία $ΒC$ αντιστοίχως. Αν $Ο$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $CΕΖ$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $Β, D, Ο$ και $C$ είναι ομοκυκλικά.
Latvian Mathematical Olympiad 1997
λύση από: Μιχάλης Τσουρακάκης (Μαθηματικός)
ΑπάντησηΔιαγραφήΘεωρούμε την κάθετη από το Β στην διχοτόμο της Α που τέμνει την AD στο Η.Τότε προφανώς το ΑΒΗ τρίγωνο είναι ισοσκελές ,άρα ΑΗ=ΑΒ.Ακόμη οι γωνίες ΗΒΖ ,ΒΗΑ είναι ίσες ως εντός εναλλάξ κι έτσι το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές Έτσι ΑΒ=ΒΖ άρα ΒΖ=ΑΗ Τότε όμως και ΖC=HD.
ΑΒ//DE κι έτσι γωνία δ=γωνία ζ=γωνία ε ,δηλ γωνία Α=2δ.Όμως και γωνία ΖΟC=2δ.
Έτσι τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΗ , ZOC είναι όμοια και ισχύει ΖC/BH=OC/AB ή HD/BH=OC/CD (1) Όμως γωνίΑ ΒΗΑ=90-δ=γωνία ΟCE οπότε και τα παραπληρώματά τους ΒΗD ,OCD είναι ίσες γωνίες .Τότε λόγω και της (1) ,τα τρίγωνα ΒΗD,ΟCD είναι όμοια οπότε γ=β Αλλά β=α άρα α=γ κι έτσι B,D,C,O είναι ομοκυκλικά
δείτε το σχήμα:http://img687.imageshack.us/img687/2807/geogebra.png