▪ Η Άσκηση του Μήνα - Φεβρουάριος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ ισχύουν:

1) $f(x)\cdot f^{″}(x)>[f^{\prime }(x){]}^2>0$, για κάθε $x\in R$
2) $f(x)+f(-x)=f(x)\cdot f(-x)$, για κάθε $x\in R$
3) $f^{\prime }(0)=1$

A) Nα αποδειχθεί ότι:

$f(x)>1$, $f^{\prime }(x)>0$, $f^{″}(x)>0$ 

για κάθε $x\in R$

Β) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $g(x)=ln(f(x))$, $x\in R$ είναι κυρτή και ότι ισχύει 

$f(x)\ge 2e^{\frac{x}{2}}$

για κάθε $x\in R$.

β) Αν ${\alpha }_1,{\alpha }_2,....,{\alpha }_{\nu }$ ανήκουν στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και είναι

${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2\cdot ...\cdot {\alpha }_{\nu }=1$

να αποδειχθεί ότι 

$f(ln{a}_1)\cdot f(ln{a}_2)\cdot ...\cdot f(ln{a}_{\nu })\ge 2^{\nu }$, $\nu \in {{\rm N}}^{\ast }$

Γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $f$.

Δ) Για ποιες τιμές του $\lambda \in (0,+\mathrm{\infty })$ η εξίσωση 

$f(x)+\lambda =2+(ln\lambda {)}^2$

έχει λύση στο $R$;

Ε) Να λυθεί η εξίσωση

$(f(x){)}^2\cdot f(2x)+8=8f(2x)$, $x\in R$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               
Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ για να δείτε τις λύσεις των συναδέλφων Βασίλη Κακαβά και Μάκη Χατζόπουλου