▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" (junior) 2001

1. Προς το εξωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με . Τα ευθύγραμμα τμήματα και  προεκτεινόμενα τέμνονται στο σημείο

α) Να υπολογίσετε τη

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της πλευράς

γ) Να υπολογίσετε το μήκος του συναρτήσει του

2. Στο διαγωνισμό ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ της Ε.Μ.Ε. συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" και τους μεγάλους".

Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό ΑΡΧΙΜΗΔΗ αποτελούν το αυτών που συμμετέχουν. Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με το λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".

Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών κοριτσιών".

3. Να προσδιορίσετε τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς με για τους οποίους ισχύει ότι:

  

4. Να αποδείξετε ότι

 

Πηγή: mathematica (socrates)