▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" (junior) 2002

1.Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου για τις οποίες ο αριθμός είναι πρώτος.

2. Να προσδιορίσετε τετραψήφιο αριθμό , ο οποίος έχει την ιδιότητα : Αν του προσθέσουμε το άθροισμα των ψηφίων του, προκύπτει ο αριθμός

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Το ύψος του και η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνονται στο σημείο

Η κάθετη προς την ευθεία στο σημείο τέμνει την στο σημείο .

Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι:

α)

β) το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της μορφής , όπου και είναι θετικοί ακέραιοι.

Πηγή: mathematica (socrates)